Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O enunciado dá a função no domínio de Laplace
e pede para determinar a transformada inversa de Laplace dessa função, isto é, encontrar a função do tempo
tal que
Informações relevantes que temos: a expressão no domínio
está racional e envolve um termo linear em
no numerador e um quadrático em
no denominador.
Passo 2
Simplificamos algebricamente a expressão para enxergar um padrão conhecido. Fatore
no denominador:
Agora cancele o fator
(dividindo numerador e denominador por
):
Passo 3
Lembrete da tabela padrão de transformadas de Laplace (a fórmula e o que cada símbolo significa):
Aqui
é a transformada de Laplace,
é a variável do domínio de Laplace (o análogo do
que às vezes aparece),
é uma constante real positiva que corresponde à frequência angular, e
é a variável de tempo. A fórmula diz: se a transformada de uma função é
, então a função do tempo é
.
Passo 4
Compare a forma que obtivemos em
com a forma padrão. Temos
e a forma padrão é
. Portanto identifique
(escolhemos a raiz positiva para representar a frequência angular).
Passo 5
Pelo pareamento da tabela, a transformada inversa correspondente é a função do tempo cuja transformada é
com
. Podemos verificar rapidamente calculando a transformada direta de
:
o que confirma a correspondência.