Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{4 S}{4 S^{2}+1}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função no domínio de Laplace
\frac{4S}{4S^{2}+1}
e pede para determinar a transformada inversa de Laplace dessa função, isto é, encontrar a função do tempo f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{4S}{4S^{2}+1}.
Informações relevantes que temos: a expressão no domínio S está racional e envolve um termo linear em S no numerador e um quadrático em S no denominador.

Passo 2

Simplificamos algebricamente a expressão para enxergar um padrão conhecido. Fatore 4 no denominador:
\frac{4S}{4S^{2}+1}=\frac{4S}{4\bigl(S^{2}+\tfrac{1}{4}\bigr)}.
Agora cancele o fator 4 (dividindo numerador e denominador por 4):
\frac{4S}{4\bigl(S^{2}+\tfrac{1}{4}\bigr)}=\frac{S}{S^{2}+\tfrac{1}{4}}.

Passo 3

Lembrete da tabela padrão de transformadas de Laplace (a fórmula e o que cada símbolo significa):
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{S}{S^{2}+a^{2}}.
Aqui \mathcal{L}\{\cdot\} é a transformada de Laplace, S é a variável do domínio de Laplace (o análogo do s que às vezes aparece), a é uma constante real positiva que corresponde à frequência angular, e t é a variável de tempo. A fórmula diz: se a transformada de uma função é \dfrac{S}{S^{2}+a^{2}}, então a função do tempo é \cos(at).

Passo 4

Compare a forma que obtivemos em com a forma padrão. Temos
\frac{S}{S^{2}+\tfrac{1}{4}}
e a forma padrão é \dfrac{S}{S^{2}+a^{2}}. Portanto identifique
a^{2}=\tfrac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad a=\tfrac{1}{2}
(escolhemos a raiz positiva para representar a frequência angular).

Passo 5

Pelo pareamento da tabela, a transformada inversa correspondente é a função do tempo cuja transformada é \dfrac{S}{S^{2}+a^{2}} com a=\tfrac{1}{2}. Podemos verificar rapidamente calculando a transformada direta de \cos\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr):
\mathcal{L}\left\{\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\right\}=\frac{S}{S^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{S}{S^{2}+\tfrac{1}{4}}=\frac{4S}{4S^{2}+1},
o que confirma a correspondência.

Resposta

\cos\!\left(\tfrac{t}{2}\right)

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