Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a transformada inversa de Laplace de
Informações dadas no enunciado:
Não há outras condições no enunciado; assumimos a convenção usual da transformada de Laplace para
.
Passo 2
Conceitos e propriedades que vamos usar (explicados devagarinho):
A transformada de Laplace direta de uma função é
A transformada de Laplace direta de uma função
e a inversa
é a função
que satisfaz
.
Propriedade importante (linearidade): para constantes
e duas funções
,
Isso significa que constantes multiplicando a função em
saem como constantes multiplicando a resposta em
.
Transformadas padrão que precisamos lembrar (essas são fundamentais e aparecem muito em provas):
Aqui
é uma constante positiva que representa a frequência angular; por exemplo, se o denominador é
, isso indica
.
Passo 3
Aplicando o reconhecimento direto ao nosso
:
Escrevemos
Escrevemos
Pelo item anterior sabemos que
Então, usando linearidade da transformada inversa,
Passo 4
Verificação rápida (para ter confiança): aplicar a transformada direta ao candidato
:
que é exatamente
. Logo a inversa está correta.
Passo 5
Comentário sobre método escolhido: escolhi reconhecer a forma padrão
porque é a maneira mais direta e econômica em prova — evita álgebra desnecessária (como frações parciais) e usa apenas memorização de duas fórmulas básicas mais a propriedade da linearidade. Se você lembrar dessas transformadas padrões, esse tipo de questão é resolvido em 2 minutos.