Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10 S}{S^{2}+16}\right\}

Passo 1

O que o problema pede: calcular a transformada inversa de Laplace de
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10\,S}{S^{2}+16}\right\}.
Informações dadas no enunciado:
\text{Função no domínio de }S:\quad F(S)=\frac{10\,S}{S^{2}+16}.çãí
Não há outras condições no enunciado; assumimos a convenção usual da transformada de Laplace para t\ge0.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicados devagarinho):
A transformada de Laplace direta de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(S)=\int_{0}^{\infty} e^{-S t} f(t)\,dt,
e a inversa \mathcal{L}^{-1}\{F(S)\} é a função f(t) que satisfaz \mathcal{L}\{f(t)\}=F(S).
Propriedade importante (linearidade): para constantes a e duas funções F_1(S),F_2(S),
\mathcal{L}^{-1}\{a\,F_1(S)+b\,F_2(S)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{F_1(S)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{F_2(S)\}.
Isso significa que constantes multiplicando a função em S saem como constantes multiplicando a resposta em t.
Transformadas padrão que precisamos lembrar (essas são fundamentais e aparecem muito em provas):
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(S)=\frac{S}{S^{2}+a^{2}},
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(S)=\frac{a}{S^{2}+a^{2}}.
Aqui a é uma constante positiva que representa a frequência angular; por exemplo, se o denominador é S^{2}+16, isso indica a^{2}=16\Rightarrow a=4.

Passo 3

Aplicando o reconhecimento direto ao nosso F(S):
Escrevemos
\frac{10\,S}{S^{2}+16}=10\cdot\frac{S}{S^{2}+4^{2}}.
Pelo item anterior sabemos que
\mathcal{L}\{\cos(4t)\}(S)=\frac{S}{S^{2}+4^{2}}.
Então, usando linearidade da transformada inversa,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{10\,S}{S^{2}+16}\right\}=10\cdot\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{S}{S^{2}+4^{2}}\right\}=10\cos(4t).

Passo 4

Verificação rápida (para ter confiança): aplicar a transformada direta ao candidato f(t)=10\cos(4t):
\mathcal{L}\{10\cos(4t)\}(S)=10\cdot\frac{S}{S^{2}+4^{2}}=\frac{10\,S}{S^{2}+16},
que é exatamente F(S). Logo a inversa está correta.

Passo 5

Comentário sobre método escolhido: escolhi reconhecer a forma padrão \frac{S}{S^{2}+a^{2}} porque é a maneira mais direta e econômica em prova — evita álgebra desnecessária (como frações parciais) e usa apenas memorização de duas fórmulas básicas mais a propriedade da linearidade. Se você lembrar dessas transformadas padrões, esse tipo de questão é resolvido em 2 minutos.

Resposta

10\cos(4t)

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