Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{S^{2}+3 S}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional \displaystyle \frac{1}{S^{2}+3S}. Informações dadas e reescritas de forma útil:
\frac{1}{S^{2}+3S}=\frac{1}{S(S+3)}.
A tarefa é encontrar a função f(t) (para t\ge 0) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\displaystyle \frac{1}{S(S+3)}.

Passo 2

Estratégia: vamos decompor a fração em frações simples (partial fractions) e usar propriedades básicas da transformada de Laplace. Conceitos que vou usar (explicação rápida e amigável):
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}. Aqui a,b são constantes.
  • Pares padrão: \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{S},\qquad \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\frac{1}{S+a}.
Ou seja, a transformada inversa de \dfrac{1}{S} é 1 e a transformada inversa de \dfrac{1}{S+a} é e^{-a t}. Essas duas informações bastam para reconstruir funções simples depois de decompor a fração.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{S(S+3)}=\frac{A}{S}+\frac{B}{S+3}.
Multiplicando os dois lados por S(S+3) obtemos a identidade polinomial
1=A(S+3)+B S.
Agora determinamos A e B:
  • Tomando S=0 vem 1=A(0+3)+B\cdot0 \quad\Rightarrow\quad 1=3A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{3}.
  • Tomando S=-3 vem 1=A\cdot0+B(-3)\quad\Rightarrow\quad 1=-3B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{3}.

Passo 4

Substituindo os coeficientes na decomposição:
\frac{1}{S(S+3)}=\frac{1/3}{S}-\frac{1/3}{S+3}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo, pela linearidade e pelos pares padrão citados:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/3}{S}\right\}=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/3}{S+3}\right\}=\frac{1}{3}e^{-3t}.
Como havia sinal negativo no segundo termo, obtemos
f(t)=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}e^{-3t},\qquad t\ge 0.

Passo 5

Verificação rápida (sempre boa prática): calcular a transformada direta de f(t) para checar que volta ao que tínhamos.
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}e^{-3t}\right\}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{S}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{S+3} =\frac{1}{3}\cdot\frac{S+3-S}{S(S+3)}=\frac{1}{S(S+3)},
confirmação completa.

Passo 6

Dica geral para questões parecidas (motivação): quando você tem \dfrac{1}{S(S+a)} a decomposição dá
\frac{1}{S(S+a)}=\frac{1}{a}\left(\frac{1}{S}-\frac{1}{S+a}\right),
portanto \mathcal{L}^{-1}\{\cdot\}=\dfrac{1}{a}\bigl(1-e^{-a t}\bigr). No nosso caso a=3, que é exatamente o que fizemos.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{3}e^{-3t}

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