Determine a transformada inversa de Laplace solicitada:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional
. Informações dadas e reescritas de forma útil:
A tarefa é encontrar a função
(para
) tal que
.
Passo 2
Estratégia: vamos decompor a fração em frações simples (partial fractions) e usar propriedades básicas da transformada de Laplace. Conceitos que vou usar (explicação rápida e amigável):
- Linearidade:
. Aqui são constantes. - Pares padrão:
Ou seja, a transformada inversa de
é
e a transformada inversa de
é
. Essas duas informações bastam para reconstruir funções simples depois de decompor a fração.
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando os dois lados por
obtemos a identidade polinomial
Agora determinamos
e
:
- Tomando
vem - Tomando
vem
Passo 4
Substituindo os coeficientes na decomposição:
Aplicando a transformada inversa termo a termo, pela linearidade e pelos pares padrão citados:
Como havia sinal negativo no segundo termo, obtemos
Passo 5
Verificação rápida (sempre boa prática): calcular a transformada direta de
para checar que volta ao que tínhamos.
confirmação completa.
Passo 6
Dica geral para questões parecidas (motivação): quando você tem
a decomposição dá
portanto
. No nosso caso
, que é exatamente o que fizemos.