Exprimir em coordenadas cilíndricas as grandezas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer expressar a divergência de um campo vetorial,
, em coordenadas cilíndricas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente em operações de derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Em coordenadas cartesianas, a fórmula é bem conhecida, mas em coordenadas cilíndricas precisamos ajustar para a geometria desse sistema.
Passo 3
Nas coordenadas cilíndricas
, onde
é a distância radial,
é o ângulo azimutal e
é a altura, o vetor
pode ser representado como:
Aqui,
,
e
são as componentes do vetor nas direções correspondentes.
Passo 4
A fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas é um pouco mais complexa devido à curvatura do sistema. A divergência
é dada por:
Vamos entender cada termo:
-
: Este termo considera a variação da componente radial em relação à distância . -
: Aqui, avaliamos como a componente angular muda com o ângulo . -
: Este é o termo usual da derivada em relação a , semelhante ao que temos em coordenadas cartesianas.
Passo 5
Agora, basta juntar tudo para escrever a divergência no formato final. Se você tiver as componentes
,
e
conhecidas, substitui na fórmula acima e realiza as derivadas parciais conforme necessário.
Resposta
A divergência do vetor
em coordenadas cilíndricas é dada por: