Exprimir em coordenadas cilíndricas as grandezas:
nabla cdot A

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer expressar a divergência de um campo vetorial, nabla cdot A, em coordenadas cilíndricas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente em operações de derivadas direcionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a divergência nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é divergência. A divergência de um campo vetorial mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Em coordenadas cartesianas, a fórmula é bem conhecida, mas em coordenadas cilíndricas precisamos ajustar para a geometria desse sistema.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas (rho, phi, z), onde rho é a distância radial, phi é o ângulo azimutal e z é a altura, o vetor A pode ser representado como:
A = Arho erho + Aphi ephi + Az ez
Aqui, Arho, Aphi e Az são as componentes do vetor nas direções correspondentes.

Passo 4

A fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas é um pouco mais complexa devido à curvatura do sistema. A divergência nabla cdot A é dada por:
nabla cdot A = 1rho partial (rho Arho)partial rho + 1rho partial Aphipartial phi + partial Azpartial z
Vamos entender cada termo:
  1. 1rho partial (rho Arho)partial rho: Este termo considera a variação da componente radial Arho em relação à distância rho.
  2. 1rho partial Aphipartial phi: Aqui, avaliamos como a componente angular Aphi muda com o ângulo phi.
  3. partial Azpartial z: Este é o termo usual da derivada em relação a z, semelhante ao que temos em coordenadas cartesianas.

Passo 5

Agora, basta juntar tudo para escrever a divergência no formato final. Se você tiver as componentes Arho, Aphi e Az conhecidas, substitui na fórmula acima e realiza as derivadas parciais conforme necessário.

Resposta

A divergência do vetor A em coordenadas cilíndricas é dada por:
nabla cdot A = 1rho partial (rho Arho)partial rho + 1rho partial Aphipartial phi + partial Azpartial z

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