Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f(t)=-20 \cdot e^{-5(t-2)} u(t-2)
f(t)=-20 \cdot e^{-5(t-2)} u(t-2)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
Informações dadas e o que se pede:
- A função
contém o fator , que é a função degrau de Heaviside (ou seja, a função vale zero para e ativa a expressão exponencial somente a partir de ). - O objetivo é encontrar
, a transformada de Laplace de , e indicar a condição de convergência em (se aplicável).
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função
definida para
,
desde que a integral convirja (isto é, para valores de
com parte real adequada). Essa é a fórmula que vamos usar para calcular
.
Passo 3
Explicar o uso do deslocamento no tempo (teorema do degrau/shift): se uma função tem a forma
com
e
definida para
, então vale a propriedade
ou seja, o efeito do deslocamento no tempo é multiplicar por
e transformar a função deslocada como se o tempo começasse em zero. Vou demonstrar isso rapidamente para fixar a ideia:
Fazendo a substituição
(então
e quando
temos
, quando
temos
):
Essa é a propriedade que usaremos aqui.
Passo 4
Identificar
e
na nossa função. Temos
Podemos ver isso como
onde
e
(para
). Pelo teorema do deslocamento, a transformada de Laplace será
isto é, multiplicamos por
(constante) e por
(deslocamento) e precisamos calcular
com
.
Passo 5
Calcular
com
. Pela definição,
Essa é uma integral geométrica básica. Para
(condição de convergência) temos
Observe que o passo de avaliar o limite em
exige
, isto é,
.
Passo 6
Substituindo esse resultado em
, obtemos a expressão final (aqui mostro a combinação algébrica dos fatores):
válida para
.