Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
c) x(t)=e^-2 t u(t) * e^-3 t u(t)

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente achar a transformada de Laplace de
x(t) ;=; e^-2tu(t);*;e^-3tu(t)
além de indicar a região de convergência (ROC). O tópico aqui é a transformada de Laplace e, em especial, a propriedade de convolução no domínio do tempo que vira produto no domínio de . A gente vai precisar:
  1. Saber a transformada de Laplace de .
  2. Usar a propriedade .

Passo 2

Primeiro, relembrando a transformada básica:
Le^-atu(t) ;=;integral0^infty e^-ate^-st,dt ;=;integral0^infty e^-(s+a)t,dt ;=;1s + a,
desde que , ou seja, .

Passo 3

Aplicando isso aos nossos sinais:
  • Para , temos , ROC: .
  • Para , temos , ROC: .

Passo 4

Como Lx(t) ;=; Le^-2tu(t);times; Le^-3tu(t) ;=;1s+2;cdot;1s+3 ;=;1(s+2)(s+3) é a convolução desses dois sinais, usamos
Re(s)>-2 e Re(s)>-3 ;Longrightarrow; Re(s)>-2
A ROC do produto é a interseção das duas ROCs individuais, ou seja,

Resposta

X(s) ;=;1(s+2)(s+3), ROC: Re(s) > -2

Exercícios relacionados