Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
a)
a)
Passo 1
Beleza, então o enunciado manda a gente achar a Transformada de Laplace da função
e também definir a Região de Convergência (ROC).
Conteúdo: Transformada de Laplace de sinais “causais” (com
O que vamos precisar:
- Definição da Transformada de Laplace
- Conhecer como tratar somas de sinais e as condições de convergência de cada termo.
Passo 2
Primeiro, a definição geral da Transformada de Laplace de um sinal
é
Como nosso sinal é composto por partes em
- Para termos com
- Para termos com
E cada integral só “existe” se ela convergir, o que define a ROC.
Passo 3
Calcular
:
Para convergir, precisamos que
.
Então
Então
Passo 4
Calcular
:
com convergência se
.
Passo 5
Calcular
:
Aqui a integral é de até
:
Aqui a integral é de
Para essa integral convergir como
, precisamos
.
Então
Então
Passo 6
Como a transformada de uma soma é a soma das transformadas, temos
$$X(s)=X_1(s)+X_2(s)+X_3(s)
=\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s-1}.
\Re(s)>-2,\quad \Re(s)>-1,\quad \Re(s)<1
;\Longrightarrow;-1<\Re(s)<1.$$
Resposta
$$\boxed{X(s)=\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s-1},
\quadROC:-1<\Re(s)<1.}$$