Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
a) x(t)=e^-2 t u(t)+e^-t u(t)+e^t u(-t)

Passo 1

Beleza, então o enunciado manda a gente achar a Transformada de Laplace da função
x(t)=e^-2tu(t);+;e^-tu(t);+;e^tu(-t)
e também definir a Região de Convergência (ROC).
Conteúdo: Transformada de Laplace de sinais “causais” (com u(t)) e “anti‐causais” (com u(-t)).
O que vamos precisar:
- Definição da Transformada de Laplace
- Conhecer como tratar somas de sinais e as condições de convergência de cada termo.

Passo 2

Primeiro, a definição geral da Transformada de Laplace de um sinal x(t) é
X(s)=integral-infty^+inftyx(t)e^-st,dt,
Como nosso sinal é composto por partes em t>=0 (multiplicadas por u(t)) e em t<0 (multiplicadas por u(-t)), a gente separa a integral em duas:
- Para termos com u(t): a integral vai de 0 a +infty.
- Para termos com u(-t): a integral vai de -infty a 0.
E cada integral só “existe” se ela convergir, o que define a ROC.

Passo 3

Calcular X1(s)=Le^-2tu(t):
X1(s)=integral0^inftye^-2t,e^-st,dt =integral0^inftye^-(s+2)t,dt =[e^-(s+2)t-(s+2)]0^infty
Para convergir, precisamos que Re(s+2)>0;Longrightarrow;Re(s)>-2.
Então
X1(s)=1s+2, Re(s)>-2

Passo 4

Calcular X2(s)=Le^-tu(t):
X2(s)=integral0^inftye^-te^-stdt =integral0^inftye^-(s+1)tdt =1s+1,
com convergência se Re(s+1)>0;Longrightarrow;Re(s)>-1.

Passo 5

Calcular X3(s)=Le^tu(-t):
Aqui a integral é de -infty até 0:
X3(s)=integral-infty^0e^te^-stdt =integral-infty^0e^-(s-1)tdt =[e^-(s-1)t-(s-1)]-infty^0
Para essa integral convergir como tto -infty, precisamos Re(s-1)<0;Longrightarrow;Re(s)<1.
Então
X3(s)=1s-1, Re(s)<1

Passo 6

Como a transformada de uma soma é a soma das transformadas, temos
$$X(s)=X_1(s)+X_2(s)+X_3(s)
=\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s-1}. X(s)=X1(s)+X2(s)+X3(s) =1s+2+1s+1+1s-1éÇÃê\Re(s)>-2,\quad \Re(s)>-1,\quad \Re(s)<1
;\Longrightarrow;-1<\Re(s)<1.$$

Resposta

$$\boxed{X(s)=\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s-1},
\quadROC:-1<\Re(s)<1.}$$

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