Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
f) x(t)=e^2 t cos (2 t) u(-t)+e^-t u(t)+e^t u(t)

Passo 1

Beleza, o exercício pede a transformada de Laplace e a região de convergência (ROC) de
x(t) = e^2tcos(2t),u(-t);+;e^-t,u(t);+;e^t,u(t)
Estamos em “Sinais e Sistemas”, usando a definição bilateral de Laplace:
X(s) = integral-infty^infty x(t),e^-s t,dt
Pra resolver, vamos separar as três partes (a que vive em e as duas que vivem em ), usar fórmulas conhecidas de transformadas one-sided e achar a interseção das ROCs.

Passo 2

Parte 1: integral-infty^0 e^2tcos(2t),e^-st,dt = integralinfty^0 e^-2taucos(2tau),e^stau(-dtau) = integral0^infty e^(s-2)taucos(2tau),dtau . Como é só para integral0^infty e^-sigma taucos(omegatau),dtau =sigmasigma^2+omega^2, Resigma>0 , mudamos de variável: defina X1(s) = 2-s(2-s)^2+2^2 = 2-s(s-2)^2+4, , aí quando vira , e
Agora reconhecemos a fórmula (one-sided)
Aqui e . Logo
com condição de convergência .

Passo 3

Parte 2: Le^atu(t) =1s-a, Res>a . Essa é a clássica de Laplace unilatera:
X2(s)=1s-(-1)=1s+1,
Aqui , então
com ROC .

Passo 4

Parte 3: X3(s)=1s-1, . Mesma fórmula com :
com ROC .

Passo 5

Como a transformada é linear, somamos:
X(s)=X1(s)+X2(s)+X3(s) =2-s(s-2)^2+4 ;+;1s+1;+;1s-1
A ROC do sinal total é a interseção das três ROCs:
Re(s)<2,cap,Re(s)>-1,cap,Re(s)>1 =1

Resposta

boxed X(s)=2-s(s-2)^2+4 ;+;1s+1;+;1s-1, ROC: 1

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