Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
h) x(t)=e^t sen(2 t+4) u(t+2)

Passo 1

Beleza, temos que achar a Transformada de Laplace de
e ainda indicar a Região de Convergência (ROC).
Conteúdo: transformada de Laplace, especialmente
  1. a propriedade de deslocamento no tempo (time–shift),
  2. a fórmula padrão
x(t)=e^t,sen(2t+4);u(t+2)

Passo 2

Primeiro a gente quer encaixar num formato “ x(t)=g(t-(-2)),u(t-(-2)),”. Aqui o step é g(tau)=e^tau-2,sen(2tau), ou seja, é um deslocamento para a esquerda de 2. Então escrevemos
onde .
Para simplificar, defina . Então quando (onde o step “liga”), e

Passo 3

Aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo:
Se Lx(t)(s)=e^-a s,G(s),, então
Lx(t)(s)=e^-(-2)s,G(s)=e^2s,G(s)
onde .
Aqui , logo

Passo 4

Agora calculamos g(t)=e^t-2sin(2t)=e^-2,l(e^tsin(2t)r) com
G(s)=e^-2,Le^tsin(2t)
Como a transformada é linear,
Le^atsin(omega t) =omega(s-a)^2+omega^2
E sabemos que
Le^tsin(2t) =2(s-1)^2+2^2 =2(s-1)^2+4
Aqui G(s)=e^-2,2(s-1)^2+4 e , então
Logo

Passo 5

Volta pra X(s)=e^2s,G(s) =e^2s;l(e^-2,2(s-1)^2+4r) =2,e^2s-2(s-1)^2+4 :
Quanto à Região de Convergência, o termo básico só converge se . O deslocamento de tempo não muda a ROC, então continua sendo
.

Resposta

boxed X(s)=2,e^2s-2(s-1)^2+4, ROC: Res>1

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