Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
i)
i)
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos
e a tarefa é achar a transformada de Laplace
e a respectiva região de convergência (ROC).
Conteúdo: Transformada de Laplace de sinais não causais (duas “caudas”), envolvendo funções definidas por integral até . Vamos usar:
Conteúdo: Transformada de Laplace de sinais não causais (duas “caudas”), envolvendo funções definidas por integral até
- Definição da transformada de Laplace bidirecional
- Condição de convergência
- Cálculo de integrais do tipo
e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o suporte de
. O termo
é 1 se
e zero se
. Então dentro da integral só soma quando
vai de
até
. Isso gera um
em duas partes:
- Se
,
- Se
, a integral vai de até 0:
que é uma constante (não depende mais de
).
Para resolver isso, achamos a integral indefinida
Logo:
- Para
, o limite em zera, sobrando
- Para
, avalia em e subtrai zero de , dando
Passo 3
Agora a transformada de Laplace bidirecional é
Antes de calcular, lembramos que cada integral só converge se o expoente decrescer em módulo:
- No primeiro integral aparece
de . Pra quando , precisamos de , ou seja . - No segundo temos
, que converge se .
Então a ROC vai ser a interseção:
Passo 4
Vamos fazer cada integral:
- Integral de
até 0:
Definae . Conhecemos os resultados:
Então
Dividindo por 5:
- Integral de
a :
Somando: