Determine a transformada de Laplace e as correspondentes regiões de convergência para as funções dadas a seguir
i) x(t)=integral-infty^t e^2 tau sen(tau) u(-tau) d tau

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos
x(t)=integral-infty^t e^2tausin(tau),u(-tau),dtau
e a tarefa é achar a transformada de Laplace e a respectiva região de convergência (ROC).
Conteúdo: Transformada de Laplace de sinais não causais (duas “caudas”), envolvendo funções definidas por integral até . Vamos usar:
  1. Definição da transformada de Laplace bidirecional
  2. Condição de convergência
  3. Cálculo de integrais do tipo e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o suporte de x(t)=integral-infty^te^2tausintau,dtau . O termo x(t)=integral-infty^0e^2tausintau,dtau, é 1 se integral e^2tausintau,dtau =e^2tau5l(2sintau-costaur)+C e zero se x(t)=e^2t5l(2sin t-cos tr) . Então dentro da integral só soma quando x(t)=-15(constante) vai de até . Isso gera um em duas partes:
  1. Se ,
  1. Se , a integral vai de até 0:
que é uma constante (não depende mais de ).
Para resolver isso, achamos a integral indefinida
Logo:
  • Para , o limite em zera, sobrando
  • Para , avalia em e subtrai zero de , dando

Passo 3

Agora a transformada de Laplace bidirecional é
X(s)=integral-infty^inftyx(t),e^-st,dt =integral-infty^0!e^2t5(2sin t-cos t),e^-stdt ;+;integral0^infty!l(-15r)e^-stdt
Antes de calcular, lembramos que cada integral só converge se o expoente decrescer em módulo:
  • No primeiro integral aparece 0 de . Pra quando , precisamos de , ou seja .
  • No segundo temos , que converge se .
Então a ROC vai ser a interseção:

Passo 4

Vamos fazer cada integral:
  1. Integral de integral-infty^0e^alpha tsin(bt),dt=-balpha^2+b^2, integral-infty^0e^alpha tcos(bt),dt=alphaalpha^2+b^2 até 0:
    Defina integral-infty^0!e^(2-s)tl(2sin t-cos tr)dt =2l(-1(2-s)^2+1r) -2-s(2-s)^2+1 =s-4(s-2)^2+1 e integral-infty^0!e^2t5(2sin t-cos t)e^-stdt =15,s-4(s-2)^2+1 . Conhecemos os resultados:
integral0^inftyl(-15r)e^-stdt =-15,1s, Re(s)>0
Então
X(s) =s-45l((s-2)^2+1r) ;-;15s, 0
Dividindo por 5:
  1. Integral de a :
Somando:

Resposta

boxedX(s)=s-45l((s-2)^2+1r) ;-;15s, ROC: 0

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