Determine a transformada inversa de Laplace para as funções e regiões dadas a seguir
b) X(s)=ss^2+9, Re(s)<0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a transformada inversa de Laplace da função
X(s)=ss^2+9
com região de convergência Re(s)<0.
O conteúdo envolvido é a transformada de Laplace bilateral (ou seja, considerando sinais que podem existir pra e pra ). Vamos precisar lembrar:
  • Como inverter a transformada de Laplace sabendo a forma .
  • Que a região de convergência (ROC) indica se o sinal é causal (surgindo em ) ou anti-causal (em ).

Passo 2

Primeiro, recordando a tabela básica de transformadas bilaterais:
L cos(omega t),u(t) = ss^2+omega^2, ROC: Re(s) > 0,
enquanto
L cos(omega t),u(-t) = ss^2+omega^2, ROC: Re(s) < 0
Aqui é o degrau de Heaviside (igual a 1 para ), e vale 1 para .

Passo 3

No nosso caso, , então tanto quanto a forma padrão aparecem. Mas a diferença é a ROC:
  • Se fosse Re(s)>0, daria .
  • Como é Re(s)<0, estamos no caso anti-causal, ou seja, sinal existindo para .

Passo 4

Concluímos que o sinal no domínio do tempo é
x(t) = cos(3t),u(-t)
A ideia: “liga” a função só pra , e a transformada bilateral bate certinho com a ROC dada.

Resposta

boxedx(t) = cos(3t),u(-t)

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