Determine a transformada de Laplace
das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente achar a transformada de Laplace
da função
Conteúdo: transformada de Laplace, em especial as propriedades
- deslocamento no domínio de
, ou seja
, e - derivação em
, que serve pra obter .
Vamos usar tabela básica (, etc.) e essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que
multiplicado por
.
Então vamos fazer em duas etapas:
Então vamos fazer em duas etapas:
- achar
, - depois usar o deslocamento
por causa do .
Passo 3
Para calcular
, a gente parte de
Aí usa a propriedade de derivação em
:
Vamos derivar:
[
\frac{d}{ds}!\Bigl[\tfrac{s}{s^2+1}\Bigr]
\frac{(1)(s2+1)-s(2s)}{(s2+1)^2}
\frac{s2+1-2s2}{(s2+1)2}
\frac{1 - s2}{(s2+1)^2}.
]
Logo
[
G(s)
\mathcal{L}{t\cos t}(s)
-\Bigl(\frac{1 - s2}{(s2+1)^2}\Bigr)
\frac{s^2 - 1}{(s2+1)2}.
]
]
Passo 4
Agora aplicamos o deslocamento no eixo
por causa do fator
:
[
\mathcal{L}{,e^{-t},t\cos t}(s)
G(s+1)
\frac{(s+1)^2 - 1}{\bigl((s+1)2+1\bigr)2}.
]
]
Dá pra simplificar o numerador:
E o denominador
.
Resposta
[
\boxed{
F(s)
\mathcal{L}{t,e^{-t}\cos t}(s)
\frac{s^2 + 2s}{\bigl(s^2 + 2s + 2\bigr)^2}
,.
}
]
,.
}
]