Determine a transformada de Laplace F(s) das seguintes funções:
f(t)=t e^-t cos t

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar a transformada de Laplace
F(s)=L,f(t)
da função
f(t)=t,e^-tcos t,
Conteúdo: transformada de Laplace, em especial as propriedades
  1. deslocamento no domínio de , ou seja
    , e
  2. derivação em , que serve pra obter .
    Vamos usar tabela básica ( , etc.) e essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que multiplicado por .
Então vamos fazer em duas etapas:
  1. achar ,
  2. depois usar o deslocamento por causa do .

Passo 3

Para calcular Lcos t(s) ;=; ss^2+1, , a gente parte de
Lt,cos t(s) ;=; -ddsl[Lcos t(s)r] ;=; -dds!l[tfracss^2+1r]
Aí usa a propriedade de derivação em dds!l[tfracss^2+1r] = (1)(s^2+1)-s(2s)(s^2+1)^2 = s^2+1-2s^2(s^2+1)^2 = 1 - s^2(s^2+1)^2 :
G(s) = Ltcos t(s) = -l(1 - s^2(s^2+1)^2r) = s^2 - 1(s^2+1)^2
Vamos derivar:
[
\frac{d}{ds}!\Bigl[\tfrac{s}{s^2+1}\Bigr]

\frac{(1)(s2+1)-s(2s)}{(s2+1)^2}

\frac{s2+1-2s2}{(s2+1)2}

\frac{1 - s2}{(s2+1)^2}.
]
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[
G(s)

\mathcal{L}{t\cos t}(s)

-\Bigl(\frac{1 - s2}{(s2+1)^2}\Bigr)

\frac{s^2 - 1}{(s2+1)2}.
]

Passo 4

Agora aplicamos o deslocamento no eixo L,e^-t,tcos t(s) = G(s+1) = (s+1)^2 - 1l((s+1)^2+1r)^2 por causa do fator (s+1)^2 - 1 = s^2 + 2s +1 -1 = s^2 + 2s :
[
\mathcal{L}{,e^{-t},t\cos t}(s)

G(s+1)

\frac{(s+1)^2 - 1}{\bigl((s+1)2+1\bigr)2}.
]
Dá pra simplificar o numerador:
E o denominador .

Resposta

[
\boxed{
F(s)

\mathcal{L}{t,e^{-t}\cos t}(s)

\frac{s^2 + 2s}{\bigl(s^2 + 2s + 2\bigr)^2}
,.
}
]

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