Determine a transformada de Laplace F(s) das seguintes funções:
f(t)=sinh (beta t)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a transformada de Laplace
F(s)=Lf(t)(s)
da função
f(t)=sinh(beta t)
Isso é conteúdo de transformada de Laplace, que envolve integrar sua função contra . Vamos usar a definição da transformada, a fórmula de em termos de exponenciais e as integrais básicas de .

Passo 2

Primeiro, a gente lembra a definição da transformada de Laplace:
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Aqui é uma variável complexa (mas, na prática, a gente exige grande o suficiente pra integral convergir).

Passo 3

Como o sinh(beta t)=e^beta t-e^-beta t2, é dado por
F(s) =integral0^inftye^-st,e^beta t-e^-beta t2,dt =12integral0^infty(e^-ste^beta t-e^-ste^-beta t),dt
a gente substitui na integral:

Passo 4

Agora combine os expoentes dentro das integrais:
e^-ste^beta t=e^-(s-beta)t, e^-ste^-beta t=e^-(s+beta)t
Então
[
F(s)
=\frac{1}{2}\Big[
\int_{0}{\infty}e{-(s-\beta)t},dt

\int_{0}{\infty}e{-(s+\beta)t},dt
\Big].
]
A gente usa a integral básica
F(s) =12[ integral0^inftye^-(s-beta)t,dt - integral0^inftye^-(s+beta)t,dt ]
desde que .

Passo 5

Aplicando isso, obtemos
integral0^inftye^-(s-beta)t,dt=1s-beta, integral0^inftye^-(s+beta)t,dt=1s+beta,
para F(s) =12(1s-beta-1s+beta) =12,(s+beta)-(s-beta)(s-beta)(s+beta) =betas^2-beta^2 .
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Resposta

boxedF(s)=Lsinh(beta t)(s)=betas^2-beta^2, Re(s)>lvertbetarvert

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