Determine a transformada de Laplace de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos uma função
definida de forma diferente em dois intervalos: ela vale
de
até
e depois passa a ser zero. Nosso objetivo é encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e como aplicá-la a funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo
para o domínio da frequência
. A fórmula geral da transformada de Laplace é:
No nosso caso, como a função
é diferente em dois intervalos, vamos dividir a integral em duas partes: de
a
e de
ao infinito.
Passo 3
Vamos escrever a transformada de Laplace para a nossa função
:
Note que na segunda integral, como a função é zero, essa parte da integral será zero e podemos ignorá-la.
Passo 4
Focando na primeira integral, temos:
Agora, vamos integrar
em relação a
. A integral de
é:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui já que estamos calculando uma integral definida.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de
a
:
Simplificando
:
Passo 6
Podemos fatorar
para simplificar:
Essa é a forma final da transformada de Laplace para a função dada.
Resposta
A transformada de Laplace de
é: