Determine a transformada de Laplace de f(t).
f(t)=cck, & 0 <= t= c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos uma função definida de forma diferente em dois intervalos: ela vale de até e depois passa a ser zero. Nosso objetivo é encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e como aplicá-la a funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo Lf(t) = integral0^infty f(t) e^-st dt para o domínio da frequência . A fórmula geral da transformada de Laplace é:
No nosso caso, como a função é diferente em dois intervalos, vamos dividir a integral em duas partes: de a e de ao infinito.

Passo 3

Vamos escrever a transformada de Laplace para a nossa função Lf(t) = integral0^c k e^-st dt + integralc^infty 0 cdot e^-st dt :
Note que na segunda integral, como a função é zero, essa parte da integral será zero e podemos ignorá-la.

Passo 4

Focando na primeira integral, temos:
Lf(t) = k integral0^c e^-st dt
Agora, vamos integrar integral e^-st dt = -1s e^-st + C em relação a . A integral de é:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui já que estamos calculando uma integral definida.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de Lf(t) = k [ -1s e^-st ]0^c = k ( -1s e^-sc + 1s e^0 ) a Lf(t) = k ( 1s - 1s e^-sc ) :
Simplificando :

Passo 6

Podemos fatorar Lf(t) = ks ( 1 - e^-sc ) para simplificar:
Essa é a forma final da transformada de Laplace para a função dada.

Resposta

A transformada de Laplace de Lf(t) = ks ( 1 - e^-sc ) é:

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