Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de
em torno do eixo indicado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas
e
e calcular o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo
. O conteúdo envolve sólidos de revolução e vamos usar o método das arruelas (discos com furo): encontramos interseções, montamos a área da seção transversal e integramos.
Passo 2
Desenhando as curvas, temos a parábola
que abre para a direita e a reta
. As interseções ocorrem onde
Passo 3
Logo os pontos são
e
e a região R fica entre essas curvas para
.
Passo 4
Como a rotação é em torno do eixo
, cortamos com planos
const. Cada fatia dá uma arruela de raio externo
e raio interno
. Sua área é
Passo 5
O volume é a integral dessa área de
a
:
Passo 6
Calculando a integral:
Resposta
\frac{64\pi}{15}