Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado.
y^2=x, 2 y=x; em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas x=y^2 e x=2y e calcular o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo y. O conteúdo envolve sólidos de revolução e vamos usar o método das arruelas (discos com furo): encontramos interseções, montamos a área da seção transversal e integramos.

Passo 2

Desenhando as curvas, temos a parábola x=y^2 que abre para a direita e a reta x=2y. As interseções ocorrem onde
y^2 = 2y ,Longrightarrow, y(y-2)=0 Rightarrow y=0 ou y=2

Passo 3

Logo os pontos são (0,0) e (4,2) e a região R fica entre essas curvas para 0<= y<=2.

Passo 4

Como a rotação é em torno do eixo y, cortamos com planos y=const. Cada fatia dá uma arruela de raio externo R(y)=2y e raio interno r(y)=y^2. Sua área é
A(y)=pil(R(y)^2 - r(y)^2r)=pil((2y)^2 - (y^2)^2r)=pil(4y^2 - y^4r)

Passo 5

O volume é a integral dessa área de y=0 a y=2:
V=integral0^2A(y),dy=integral0^2pil(4y^2 - y^4r),dy

Passo 6

Calculando a integral:
V=pi[4y^33-y^55]0^2=pi(323-325)=pi6415

Resposta

\frac{64\pi}{15}

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