Determine a transformada de laplace:
f(t)=e^{3 t} \operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=e^{3t}\sin(2t). O conteúdo envolvido é o cálculo de transformada de Laplace e, em particular, a propriedade de deslocamento no eixo s. Vamos usar a definição de transformada e a propriedade que relaciona multiplicação por exponencial a um deslocamento na variável s.

Passo 2

A transformada de Laplace de uma função g(t) é dada por
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}g(t)e^{-st}dt.
Uma função padrão que usamos aqui é a transformada de \sin(2t), que vale
\mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s)=\frac{2}{s^2+4},
válida para \Re(s)>0.

Passo 3

Aplicamos agora a propriedade de deslocamento: se \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s) então
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a).
No nosso caso, a=3 e g(t)=\sin(2t), logo G(s)=\tfrac{2}{s^2+4}.

Passo 4

Substituindo s\mapsto s-3 em G(s), obtemos
\mathcal{L}\{e^{3t}\sin(2t)\}(s) =\frac{2}{(s-3)^2+4},
com região de convergência \Re(s)>3.

Resposta

\frac{2}{(s-3)^2+4},\quad \Re(s)>3.

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