Determine a transformada de laplace:
f(t)=1-\cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
f(t)=1-\cos 2t.
O conteúdo principal é a definição de transformada de Laplace e a propriedade de linearidade, além das transformadas conhecidas de funções básicas (constante e cosseno).

Passo 2

Recordando a definição, a transformada de Laplace de uma função g(t) é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,g(t)\,dt.
Mas, em vez de calcular a integral diretamente, vamos usar a linearidade da transformada e tabelas de resultados já conhecidos.

Passo 3

Pela linearidade temos
\mathcal{L}\{\,1-\cos2t\}(s) =\mathcal{L}\{1\}(s)\;-\;\mathcal{L}\{\cos2t\}(s).
Sabemos que
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\quad s>0,
e que, para a>0,
\mathcal{L}\{\cos at\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui a=2, logo
\mathcal{L}\{\cos2t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 4

Substituindo esses resultados:
\mathcal{L}\{1-\cos2t\}(s) =\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+4}.
Para simplificar, colocamos no mesmo denominador:
\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+4} =\frac{s^{2}+4 - s^{2}}{s\,\bigl(s^{2}+4\bigr)} =\frac{4}{s\,(s^{2}+4)}.

Resposta

\mathcal{L}\{\,1-\cos2t\}(s)=\frac{4}{s\,(s^{2}+4)}.

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