Resolva os PVIs a seguir:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0 ; \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=-4

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + 2y' = 0,
com condições y(0)=1 e y'(0)=-4. Vamos usar o método da equação característica para EDO linear com coeficientes constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO homogênea:
r^2 + 2r = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica, temos
r(r+2)=0
logo as raízes são r_1=0 e r_2=-2. A solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-2x} = C_1 + C_2 e^{-2x}.

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = -2C_2 e^{-2x}.
Em x=0\), as condições iniciais dão o sistema \[\begin{cases} y(0)=C_1 + C_2 = 1,\\\ y'(0)=-2C_2 = -4. \end{cases}
Da segunda equação segue C_2=2\]. Substituindo em \(C_1 + C_2=1 obtemos C_1=1-2=-1.

Passo 5

Com C_1=-1 e C_2=2, a solução particular é
y(x) = -1 + 2e^{-2x}.

Resposta

y(x) = -1 + 2e^{-2x}.

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