Determine a transformada de Laplace da função dada usando a tabela de transformadas de Laplace e as propriedades de Transformada de Laplace.
e^{-t} \cos 3 t+e^{6 t}-1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado\n
  • Pede-se: determinar a transformada de Laplace da função \,e^{-t}\cos 3t + e^{6t} - 1\,.
  • A função dada tem três termos separados que somam: \,e^{-t}\cos 3t\,,\; e^{6t}\,,\; -1\,.
  • Vou usar tabelas básicas de transformadas (entradas para \cos, para 1) e propriedades: linearidade e o teorema do deslocamento em frequência (shifting).
  • Não é pedido explicitamente, mas é importante indicar a região de convergência (valores de s para os quais a transformada existe).

Passo 2

Definição e ideia principal (a fórmula que usamos)\n
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
quando essa integral converge.
  • Duas propriedades que vamos usar direto:
    1. Linearidade:
    \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s).
    1. Deslocamento em frequência (teorema do fator exponencial):
    \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a),onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) é a transformada de f. Isso significa que multiplicar por e^{at} desloca a variável s para s-a na transformada.

Passo 3

Entradas da tabela que vamos usar e o que elas significam\n
  • Transformada de \cos(\omega t):
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}},\qquad \text{válida para \(\Re(s)>0\).}á
Aqui \omega é a frequência (no nosso caso, \omega=3).
  • Transformada de 1 (função constante):
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \text{válida para \(\Re(s)>0\).}á
Essas são entradas padrão da tabela de Laplace.

Passo 4

Aplicando linearidade para separar a transformada do somatório\n
Pelo princípio da linearidade,
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos 3t + e^{6t} - 1\}(s) = \mathcal{L}\{e^{-t}\cos 3t\}(s) \;+\; \mathcal{L}\{e^{6t}\}(s) \;-\; \mathcal{L}\{1\}(s).
Vou calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{e^{-t}\cos 3t\}(s) usando o deslocamento em frequência\n
  • Tome f(t)=\cos 3t. Pela tabela, F(s)=\mathcal{L}\{\cos 3t\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+9}, válida para \Re(s)>0.
  • Agora e^{-t}\cos 3t corresponde a multiplicar f(t) por e^{at} com a=-1. Pelo teorema do deslocamento:
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos 3t\}(s)=F(s- a)=F(s-(-1))=F(s+1).
  • Substituindo s\mapsto s+1 em F:
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos 3t\}(s)=\frac{s+1}{(s+1)^{2}+9}.
  • Podemos expandir o denominador se preferir:
(s+1)^{2}+9=s^{2}+2s+1+9=s^{2}+2s+10,
logo uma forma equivalente é
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos 3t\}(s)=\frac{s+1}{s^{2}+2s+10}.
  • Condição de existência: como F(s) exige \Re(s)>0, ao substituir obtemos necessidade de \Re(s+1)>0, isto é \Re(s)>-1.

Passo 6

Calcular \mathcal{L}\{e^{6t}\}(s)\n
  • Tome f(t)=1. Pela tabela, F(s)=\mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s}, válida para \Re(s)>0.
  • Aqui multiplicamos por e^{6t} (ou seja, a=6), então pelo deslocamento:
\mathcal{L}\{e^{6t}\}(s)=F(s-6)=\frac{1}{s-6}.
  • Condição de existência: exige \Re(s-6)>0, ou seja \Re(s)>6.

Passo 7

Calcular \mathcal{L}\{1\}(s)\n
  • Já sabemos da tabela:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \text{válida para \(\Re(s)>0\).}á

Passo 8

Juntar os termos para obter a transformada completa\n
  • Somando/subtraindo os resultados:
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos 3t + e^{6t} - 1\}(s) = \frac{s+1}{(s+1)^{2}+9} \;+\; \frac{1}{s-6} \;-\; \frac{1}{s}.
  • Forma alternativa (expandindo o primeiro denominador):
\mathcal{L}\{\cdots\}(s)=\frac{s+1}{s^{2}+2s+10}+\frac{1}{s-6}-\frac{1}{s}.

Passo 9

Região de convergência (onde a transformada existe)\n
  • Cada termo tem sua própria condição: primeiro termo pede \Re(s)>-1; segundo pede \Re(s)>6; terceiro pede \Re(s)>0. Para que a soma (toda a transformada) exista, precisamos do conjunto de s que satisfaça todas simultaneamente. O mais restritivo é \Re(s)>6.
  • Portanto a transformada completa é válida para \Re(s)>6.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-t}\cos 3t + e^{6t} - 1\}(s)=\frac{s+1}{(s+1)^{2}+9}+\frac{1}{s-6}-\frac{1}{s}
Região de convergência: \Re(s)>6

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