Determine a transformada de Laplace da função dada usando a tabela de transformadas de Laplace e as propriedades de Transformada de Laplace.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado\n
- Pede-se: determinar a transformada de Laplace da função
. - A função dada tem três termos separados que somam:
. - Vou usar tabelas básicas de transformadas (entradas para
, para ) e propriedades: linearidade e o teorema do deslocamento em frequência (shifting). - Não é pedido explicitamente, mas é importante indicar a região de convergência (valores de
para os quais a transformada existe).
Passo 2
Definição e ideia principal (a fórmula que usamos)\n
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
quando essa integral converge.
- Duas propriedades que vamos usar direto:
- Linearidade:
- Deslocamento em frequência (teorema do fator exponencial):
onde é a transformada de . Isso significa que multiplicar por desloca a variável para na transformada.
Passo 3
Entradas da tabela que vamos usar e o que elas significam\n
- Transformada de
:
Aqui
é a frequência (no nosso caso,
).
- Transformada de
(função constante):
Essas são entradas padrão da tabela de Laplace.
Passo 4
Aplicando linearidade para separar a transformada do somatório\n
Pelo princípio da linearidade,
Pelo princípio da linearidade,
Vou calcular cada termo separadamente.
Passo 5
Calcular
usando o deslocamento em frequência\n
- Tome
. Pela tabela, , válida para . - Agora
corresponde a multiplicar por com . Pelo teorema do deslocamento:
- Substituindo
em :
- Podemos expandir o denominador se preferir:
logo uma forma equivalente é
- Condição de existência: como
exige , ao substituir obtemos necessidade de , isto é .
Passo 6
Calcular
\n
- Tome
. Pela tabela, , válida para . - Aqui multiplicamos por
(ou seja, ), então pelo deslocamento:
- Condição de existência: exige
, ou seja .
Passo 7
Calcular
\n
- Já sabemos da tabela:
Passo 8
Juntar os termos para obter a transformada completa\n
- Somando/subtraindo os resultados:
- Forma alternativa (expandindo o primeiro denominador):
Passo 9
Região de convergência (onde a transformada existe)\n
- Cada termo tem sua própria condição: primeiro termo pede
; segundo pede ; terceiro pede . Para que a soma (toda a transformada) exista, precisamos do conjunto de que satisfaça todas simultaneamente. O mais restritivo é . - Portanto a transformada completa é válida para
.
Resposta
Região de convergência: