Determine o comprimento da curva dada.
\mathbf{r}(t)=\sqrt{2} t \mathbf{i}+e^{t} \mathbf{j}+e^{-t} \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede para determinar o comprimento da curva paramétrica \mathbf{r}(t) no intervalo 0\le t\le 1. As informações dadas são:
\mathbf{r}(t)=\sqrt{2}\,t\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}+e^{-t}\,\mathbf{k},\qquad 0\le t\le 1.
A pergunta é única e clara: calcular o comprimento da curva parametrizada por \mathbf{r}(t) entre t=0 e t=1.

Passo 2

Para achar o comprimento de uma curva dada por uma parametrização \mathbf{r}(t) diferenciável em [a,b] usamos a fórmula
L=\int_{a}^{b}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial de \mathbf{r}(t) (ou seja, derivamos cada componente em relação a t) e \|\mathbf{r}'(t)\| é a norma (comprimento) desse vetor derivada. A ideia física/intuitiva: para pequenos incrementos \Delta t a curva se aproxima de um segmento de reta de comprimento \|\mathbf{r}'(t)\|\Delta t; somando (integrando) esses comprimentos obtemos o comprimento total.

Passo 3

Calculamos \mathbf{r}'(t) derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\big(\sqrt{2}\,t\big)\,\mathbf{i}+\frac{d}{dt}\big(e^{t}\big)\,\mathbf{j}+\frac{d}{dt}\big(e^{-t}\big)\,\mathbf{k}.
Derivando:
\mathbf{r}'(t)=\sqrt{2}\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}-e^{-t}\,\mathbf{k}.

Passo 4

Agora calculamos a norma \|\mathbf{r}'(t)\|. Primeiro o quadrado da norma:
\|\mathbf{r}'(t)\|^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(e^{t})^{2}+(-e^{-t})^{2}=2+e^{2t}+e^{-2t}.
Podemos simplificar essa expressão reconhecendo uma identidade hiperbólica ou fazendo uma manipulação algébrica direta. Note que
(e^{t}+e^{-t})^{2}=e^{2t}+2+e^{-2t},
logo
2+e^{2t}+e^{-2t}=(e^{t}+e^{-t})^{2}.
Portanto
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(e^{t}+e^{-t})^{2}}=e^{t}+e^{-t},
pois e^{t}+e^{-t}>0 para todo t. Outra forma equivalente: usar \operatorname{cosh}, já que \operatorname{cosh} t=(e^{t}+e^{-t})/2, então \|\mathbf{r}'(t)\|=2\operatorname{cosh} t.

Passo 5

Substituímos na integral do comprimento:
L=\int_{0}^{1}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt=\int_{0}^{1}\big(e^{t}+e^{-t}\big)\,dt.
Calculamos a integral termo a termo. Uma primitiva de e^{t} é e^{t}. Uma primitiva de e^{-t} é -e^{-t}. Assim
\int\big(e^{t}+e^{-t}\big)\,dt=e^{t}-e^{-t}+C.
Avaliando de 0 a 1:
L=\big(e^{t}-e^{-t}\big)\Big|_{0}^{1}=\big(e^{1}-e^{-1}\big)-\big(e^{0}-e^{0}\big)=e-e^{-1}.
Usando a definição de \operatorname{sinh}, \operatorname{sinh} t=(e^{t}-e^{-t})/2, temos também
L=2\operatorname{sinh} 1.

Passo 6

Se quiser uma aproximação numérica rápida: e\approx 2{,}71828 e e^{-1}\approx 0{,}367879, logo
L=e-e^{-1}\approx 2{,}71828-0{,}367879\approx 2{,}35040.
Isso confirma que 2\operatorname{sinh} 1\approx 2{,}3504.

Resposta

2\operatorname{sinh} 1

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