A pergunta é única e clara: calcular o comprimento da curva parametrizada por \mathbf{r}(t) entre t=0 e t=1.
Passo 2
Para achar o comprimento de uma curva dada por uma parametrização \mathbf{r}(t) diferenciável em [a,b] usamos a fórmula
L=\int_{a}^{b}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.
Aqui \mathbf{r}'(t) é a derivada vetorial de \mathbf{r}(t) (ou seja, derivamos cada componente em relação a t) e \|\mathbf{r}'(t)\| é a norma (comprimento) desse vetor derivada. A ideia física/intuitiva: para pequenos incrementos \Delta t a curva se aproxima de um segmento de reta de comprimento \|\mathbf{r}'(t)\|\Delta t; somando (integrando) esses comprimentos obtemos o comprimento total.
Passo 3
Calculamos \mathbf{r}'(t) derivando componente a componente:
pois e^{t}+e^{-t}>0 para todo t. Outra forma equivalente: usar \operatorname{cosh}, já que \operatorname{cosh} t=(e^{t}+e^{-t})/2, então \|\mathbf{r}'(t)\|=2\operatorname{cosh} t.