Determine a Transformada de Laplace das funções a seguir:
x(t)=\cos (5 t) u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \,x(t)=\cos(5t)\,u(t).
O conteúdo é Transformada de Laplace unilaterial, e vamos usar a definição
e a fórmula padrão para \int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(\omega t)\,dt.

Passo 2

Usando a definição de Laplace, escrevemos
X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} =\int_{0}^{\infty}\cos(5t)\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Sabemos pela tabela de transformadas (ou por integração por partes) que
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(\omega t)\,dt =\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}},
desde que \Re(s)>0. Aqui \omega=5, logo
X(s)=\frac{s}{s^{2}+5^{2}} =\frac{s}{s^{2}+25},
com região de convergência \Re(s)>0.

Resposta

X(s)=\frac{s}{s^{2}+25},\quad \Re(s)>0.

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