Determine a Transformada de Laplace das funções a seguir:
x(t)=t \cos (5 t) u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
x(t)=t\cos(5t)\,u(t).
O conteúdo necessário é a definição de transformada de Laplace e a propriedade de diferenciar em s:
\mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}\bigr].

Passo 2

Primeiro calculamos a transformada de Laplace de \cos(5t). Pela tabela temos
\mathcal{L}\{\cos(5t)\} = \frac{s}{s^{2}+25}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de multiplicar por t:
\mathcal{L}\{t\cos(5t)\} = -\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{s}{s^{2}+25}\Bigr].

Passo 4

Calculamos a derivada em s:
\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{s}{s^{2}+25}\Bigr] = \frac{(s^{2}+25)\cdot1 - s\cdot2s}{(s^{2}+25)^{2}} = \frac{25 - s^{2}}{(s^{2}+25)^{2}}.
Com o sinal menos, obtemos
\mathcal{L}\{t\cos(5t)\} = -\frac{25 - s^{2}}{(s^{2}+25)^{2}} = \frac{s^{2}-25}{(s^{2}+25)^{2}}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{t\cos(5t)\,u(t)\} = \frac{s^{2}-25}{(s^{2}+25)^{2}}.}

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