Determine a Transformada de Laplace das funções a seguir:
x(t)=e^{-3 t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
x(t)=e^{-3t}\,u(t),
onde u(t) é o degrau unitário. Vamos usar a definição da transformada unilateral de Laplace:
\mathcal{L}\{x(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)\,e^{-s t}\,dt.

Passo 2

Como u(t)=1 para t\ge0 e zero para t<0, no intervalo de integração x(t)=e^{-3t}. Logo
\mathcal{L}\{x(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-3t}\,e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+3)t}\,dt.

Passo 3

Para que a integral convirja, precisamos de \Re(s+3)>0. Supondo isso, temos
\int_{0}^{\infty}e^{-(s+3)t}\,dt =\left[\frac{e^{-(s+3)t}}{-(s+3)}\right]_{0}^{\infty} =\frac{1}{s+3}.

Passo 4

Portanto a transformada existe para \Re(s)>-3.

Resposta

X(s)=\frac{1}{s+3},\quad \Re(s)>-3.

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