Determine a Transformada de Laplace das funções a seguir:
x(t)=e^{-3 t} u(-t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace bilateral da função
x(t) = e^{-3t}\,u(-t),
onde u(-t) é a função degrau que vale 1 para t<0 e 0 para t>0. Vamos usar a definição da transformada bilateral e identificar a região de convergência.

Passo 2

A transformada de Laplace bilateral é definida por
X(s) \;=\;\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-st}\,\mathrm{d}t.
Como x(t)=0 para t>0, o integral se reduz a
X(s)=\int_{-\infty}^{0}e^{-3t}\,e^{-st}\,\mathrm{d}t =\int_{-\infty}^{0}e^{-(s+3)t}\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Para calcular o integral, note que
\int e^{-(s+3)t}\,\mathrm{d}t =\frac{e^{-(s+3)t}}{-(s+3)}.
Logo,
X(s) =\left[\frac{e^{-(s+3)t}}{-(s+3)}\right]_{t=-\infty}^{0} =\frac{1-0}{-(s+3)} =-\frac{1}{s+3}.

Passo 4

Para que a contribuição no limite t\to -\infty desapareça, é preciso
\Re\bigl(s+3\bigr)<0 \quad\Longrightarrow\quad \Re(s)<-3.

Resposta

X(s) \;=\; -\frac{1}{s+3}, \qquad \Re(s)<-3.

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