Determine a transformada de Laplace inversa das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. Vamos usar conceitos de álgebra e transformadas de Laplace para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração usando frações parciais. Precisamos fatorar o denominador
. A equação quadrática no denominador pode ser fatorada:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora, expressamos
como uma soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Para encontrar os coeficientes, vamos substituir valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, para encontrar
, podemos escolher outro valor de
ou comparar os coeficientes dos termos. Vamos escolher
para facilitar:
Simplificando:
Convertendo para denominador comum e resolvendo para
:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: