Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem e usaremos a Transformada de Laplace para achar a solução. Precisaremos conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como transformar derivadas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Passo 3
Agora, vamos lembrar como transformar as derivadas:
Substituindo os valores iniciais
e
:
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação original:
Aqui, usamos que
.
Passo 5
Vamos fatorar
:
Note que
, então:
Passo 6
Isolamos
:
Agora, precisamos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão.
Passo 7
Expressamos
como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Escolhemos valores de
para resolver
,
e
:
- Para
: - Para
:
Para encontrar
, podemos derivar ou escolher outro valor de
. Vamos expandir a equação:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Agrupando termos:
Igualando os coeficientes:
-
: -
: Já satisfazemos com os valores encontrados - Constante: Já satisfazemos com os valores encontrados
Passo 9
Agora, temos:
Passo 10
Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Conhecendo as transformadas inversas:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: