Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: y'' - 2y' + y = e^(2t), y(0) = 0, y'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem e usaremos a Transformada de Laplace para achar a solução. Precisaremos conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como transformar derivadas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como transformar as derivadas:
Substituindo os valores iniciais e :

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação original:
Aqui, usamos que .

Passo 5

Vamos fatorar :
Note que , então:

Passo 6

Isolamos :
Agora, precisamos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a inversão.

Passo 7

Expressamos como soma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Escolhemos valores de para resolver , e :
  • Para :
  • Para :
Para encontrar , podemos derivar ou escolher outro valor de . Vamos expandir a equação:
Substituindo e :
Simplificando:
Agrupando termos:
Igualando os coeficientes:
  • :
  • : Já satisfazemos com os valores encontrados
  • Constante: Já satisfazemos com os valores encontrados

Passo 9

Agora, temos:

Passo 10

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Conhecendo as transformadas inversas:
Substituindo e :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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