Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
© y'' - y' - 2y = sen(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é útil pra resolver equações diferenciais lineares onde o lado direito (não homogêneo) é uma função que a gente consegue adivinhar uma forma de solução. Precisamos achar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular que se ajusta ao lado não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, achamos a equação característica substituindo por , resultando em . Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , tentamos uma solução na forma:
Aqui, e são coeficientes que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados da equação:
Agora, resolvemos esse sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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