Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{5}{s^{2}+49}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{5}{s^{2}+49}.
O conteúdo aqui é o uso das tabelas de transformada de Laplace, em particular dos pares fundamentais envolvendo seno e cosseno.

Passo 2

Lembrando que
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} \quad\text{e}\quad \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
No nosso caso vemos que o denominador é s^{2}+49=s^{2}+7^{2}, ou seja, \omega=7.

Passo 3

Para encaixar no formato de seno, extraímos o fator \omega=7 do numerador:
\frac{5}{s^{2}+49} =\frac{5}{7}\,\frac{7}{s^{2}+7^{2}}.

Passo 4

Como
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{7}{s^{2}+7^{2}}\Bigr)=\sin(7t),
concluímos que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{5}{s^{2}+49}\Bigr) =\frac{5}{7}\,\sin(7t).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\Bigl(\frac{5}{s^{2}+49}\Bigr) =\frac{5}{7}\,\sin(7t).

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