1. Mostre que \mathcal{L}\left(\frac{f(t)}{t}\right)=\int_{s}^{\infty} F(\tau) d \tau, onde \mathcal{L}(f(t))=F(s).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade da transformada de Laplace
\mathcal{L}\!\biggl(\frac{f(t)}{t}\biggr)(s) =\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\,dt \;=\;\int_{s}^{\infty}F(\tau)\,d\tau
onde definimos
F(s)=\mathcal{L}\bigl(f(t)\bigr)(s) =\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.

Passo 2

Escrevemos explicitamente a integral de F(\tau) em \tau:
\int_{s}^{\infty}F(\tau)\,d\tau =\int_{s}^{\infty}\Bigl[\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-\tau t}\,dt\Bigr]\,d\tau.

Passo 3

Assumindo que f e e^{-\tau t} satisfazem as hipóteses de convergência para troca de integração (Teorema de Fubini), invertemos a ordem de integração:
\int_{s}^{\infty}\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-\tau t}\,dt\,d\tau =\int_{0}^{\infty}f(t)\Bigl[\int_{s}^{\infty}e^{-\tau t}\,d\tau\Bigr]dt.

Passo 4

Calculamos a integral interna em \tau:
\int_{s}^{\infty}e^{-\tau t}\,d\tau =\biggl[-\frac{1}{t}e^{-\tau t}\biggr]_{\tau=s}^{\tau=\infty} =\frac{1}{t}\,e^{-st}.

Passo 5

Substituindo de volta, obtém-se
\int_{0}^{\infty}f(t)\,\frac{1}{t}e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}\frac{f(t)}{t}e^{-st}\,dt =\mathcal{L}\!\bigl(\tfrac{f(t)}{t}\bigr)(s).

Resposta

\mathcal{L}\Bigl(\tfrac{f(t)}{t}\Bigr)(s) =\int_{s}^{\infty}F(\tau)\,d\tau.

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