Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\left(1+e^{-2 s}\right)^{2}}{s+2}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace inversa da função
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\left(1+e^{-2 s}\right)^{2}}{s+2}\right\}.
Informações dadas importantes: a expressão no domínio de Laplace é \dfrac{(1+e^{-2s})^{2}}{s+2}. A tarefa é encontrar a função no domínio do tempo cuja transformada de Laplace é essa expressão.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: expandir o quadrado no numerador para separar termos que são mais fáceis de inverter.
\left(1+e^{-2s}\right)^{2} = 1 + 2e^{-2s} + e^{-4s}.
Portanto a função fica
\frac{\left(1+e^{-2 s}\right)^{2}}{s+2}=\frac{1}{s+2}+\frac{2e^{-2s}}{s+2}+\frac{e^{-4s}}{s+2}.

Passo 3

Usar linearidade da transformada de Laplace: a transformada inversa é linear, logo
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}+\frac{2e^{-2s}}{s+2}+\frac{e^{-4s}}{s+2}\right\} = \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\} +2\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{e^{-2s}}{s+2}\right\} +\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{e^{-4s}}{s+2}\right\}.
Então basta calcular cada uma das três transformadas inversas separadamente.

Passo 4

Explicar e usar o teorema do deslocamento no tempo (time-shift): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, então
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada (Heaviside), isto é u(t-a)=0 para t<a e u(t-a)=1 para t\ge a. A prova rápida (só para entender) vem da definição da transformada:
\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=\int_{0}^{\infty}u(t-a)f(t-a)e^{-st}\,dt =\int_{a}^{\infty}f(t-a)e^{-st}\,dt.
Fazendo a mudança de variável \tau=t-a obtemos
\int_{0}^{\infty}f(\tau)e^{-s(\tau+a)}\,d\tau=e^{-as}\int_{0}^{\infty}f(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau=e^{-as}F(s).
Isso mostra que multiplicar por e^{-as} no domínio s corresponde a deslocar no tempo por a multiplicando por u(t-a) e substituindo t por t-a.

Passo 5

Identificar a transformada básica: conhecemos que
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\frac{1}{s+2}.
Aqui F(s)=\dfrac{1}{s+2} e a função correspondente no tempo é f(t)=e^{-2t} (para t\ge0). Isso nos permite inverter cada termo usando o teorema do deslocamento.

Passo 6

Aplicar o teorema a cada termo:
  • Para \dfrac{1}{s+2}: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}.
  • Para \dfrac{2e^{-2s}}{s+2}: aqui temos e^{-2s}\cdot \dfrac{1}{s+2}, então pela propriedade do deslocamento a inversa é 2\,u(t-2)\,e^{-2(t-2)}.
  • Para \dfrac{e^{-4s}}{s+2}: similarmente a inversa é u(t-4)\,e^{-2(t-4)}.
Somando os três resultados obtemos a solução no domínio do tempo:
e^{-2t}+2\,u(t-2)\,e^{-2(t-2)}+u(t-4)\,e^{-2(t-4)}.
Observação prática: algumas vezes preferimos escrever e^{-2(t-2)}=e^{-2t+4}=e^{4}e^{-2t}, mas a forma com u(t-a)\,e^{-2(t-a)} é mais direta e mostra claramente o deslocamento no tempo.

Resposta

\;e^{-2t}+2\,u(t-2)\,e^{-2(t-2)}+u(t-4)\,e^{-2(t-4)}

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