Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace inversa da função
Informações dadas importantes: a expressão no domínio de Laplace é
. A tarefa é encontrar a função no domínio do tempo cuja transformada de Laplace é essa expressão.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: expandir o quadrado no numerador para separar termos que são mais fáceis de inverter.
Portanto a função fica
Passo 3
Usar linearidade da transformada de Laplace: a transformada inversa é linear, logo
Então basta calcular cada uma das três transformadas inversas separadamente.
Passo 4
Explicar e usar o teorema do deslocamento no tempo (time-shift): se
, então
onde
é a função degrau unitário deslocada (Heaviside), isto é
para
e
para
. A prova rápida (só para entender) vem da definição da transformada:
Fazendo a mudança de variável
obtemos
Isso mostra que multiplicar por
no domínio
corresponde a deslocar no tempo por
multiplicando por
e substituindo
por
.
Passo 5
Identificar a transformada básica: conhecemos que
Aqui
e a função correspondente no tempo é
(para
). Isso nos permite inverter cada termo usando o teorema do deslocamento.
Passo 6
Aplicar o teorema a cada termo:
- Para
: . - Para
: aqui temos , então pela propriedade do deslocamento a inversa é . - Para
: similarmente a inversa é .
Somando os três resultados obtemos a solução no domínio do tempo:
Observação prática: algumas vezes preferimos escrever
, mas a forma com
é mais direta e mostra claramente o deslocamento no tempo.