Escreva cada função em termos de funções derau unitário e encontre a sua transformada de Laplace. \{\begin{array}{l}1,0 \leq t<4 \\\\ 0,4 \leq t<5 \\\\ 1, t \geq 5\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes (para t\ge 0):
\begin{cases} 1, & 0 \le t < 4,\\[4pt] 0, & 4 \le t < 5,\\[4pt] 1, & t \ge 5. \end{cases}
O que se pede:
escrever essa função em termos de funções de degrau unitário;
calcular a transformada de Laplace dessa função.]
Passo 2
Vamos entender a ferramenta que vamos usar: a função de degrau unitário (Heaviside) e algumas propriedades úteis.
Agora, como escrever a função peça a peça com degraus? Uma maneira prática é construir a função a partir de uma base (por exemplo u(t), que vale 1 para t\ge0) e então “ligar/desligar” segmentos usando valores +1 ou -1 multiplicando degraus deslocados.
Considere a tentativa
f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5).
Vamos verificar nos três intervalos:
Para 0\le t<4: temos u(t)=1, u(t-4)=0, u(t-5)=0. Logo
f(t)=1-0+0=1,
que coincide com a definição.
Para 4\le t<5: u(t)=1, u(t-4)=1, u(t-5)=0. Logo
f(t)=1-1+0=0,
que coincide com a definição.
Para t\ge5: u(t)=1, u(t-4)=1, u(t-5)=1. Logo
f(t)=1-1+1=1,
que coincide também.
Portanto a escrita em termos de degrau unitário está correta:
f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5).
Observação: para funções definidas só em t\ge0 podemos também usar simplesmente 1 no lugar de u(t), pois u(t)=1 para t\ge0; contudo, usar u(t) deixa explícita a causalidade necessária para a Laplace.]
Passo 3
Agora calculamos a transformada de Laplace de f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5) usando linearidade e as transformadas das degraus deslocados: