Escreva cada função em termos de funções derau unitário e encontre a sua transformada de Laplace.
\{\begin{array}{l}1,0 \leq t<4 \\\\ 0,4 \leq t<5 \\\\ 1, t \geq 5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes (para t\ge 0):
\begin{cases} 1, & 0 \le t < 4,\\[4pt] 0, & 4 \le t < 5,\\[4pt] 1, & t \ge 5. \end{cases}
O que se pede:
  1. escrever essa função em termos de funções de degrau unitário;
  2. calcular a transformada de Laplace dessa função.]

Passo 2

Vamos entender a ferramenta que vamos usar: a função de degrau unitário (Heaviside) e algumas propriedades úteis.
Definição:
u(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t\ge 0. \end{cases}
A função deslocada u(t-a) vale 0 para t<a e vale 1 para t\ge a.
Propriedade de linearidade: se f(t)=A\,g(t)+B\,h(t) então
\mathcal{L}\{f\}(s)=A\,\mathcal{L}\{g\}(s)+B\,\mathcal{L}\{h\}(s),
desde que as transformadas existam.
Transformadas básicas das degraus:
\mathcal{L}\{u(t)\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{u(t-a)\}(s)=\frac{e^{-as}}{s}\quad\text{(para \(a\ge0\)).}
Explicação rápida do porquê de \mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}: pela definição da Laplace,
\mathcal{L}\{u(t-a)\}=\int_0^\infty u(t-a)e^{-st}\,dt=\int_a^\infty e^{-st}\,dt =\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{t=a}^{t=\infty}=\frac{e^{-as}}{s}.
Agora, como escrever a função peça a peça com degraus? Uma maneira prática é construir a função a partir de uma base (por exemplo u(t), que vale 1 para t\ge0) e então “ligar/desligar” segmentos usando valores +1 ou -1 multiplicando degraus deslocados.
Considere a tentativa
f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5).
Vamos verificar nos três intervalos:
  • Para 0\le t<4: temos u(t)=1, u(t-4)=0, u(t-5)=0. Logo
f(t)=1-0+0=1,
que coincide com a definição.
  • Para 4\le t<5: u(t)=1, u(t-4)=1, u(t-5)=0. Logo
f(t)=1-1+0=0,
que coincide com a definição.
  • Para t\ge5: u(t)=1, u(t-4)=1, u(t-5)=1. Logo
f(t)=1-1+1=1,
que coincide também.
Portanto a escrita em termos de degrau unitário está correta:
f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5).
Observação: para funções definidas só em t\ge0 podemos também usar simplesmente 1 no lugar de u(t), pois u(t)=1 para t\ge0; contudo, usar u(t) deixa explícita a causalidade necessária para a Laplace.]

Passo 3

Agora calculamos a transformada de Laplace de f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5) usando linearidade e as transformadas das degraus deslocados:
Aplicando linearidade:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\mathcal{L}\{u(t)\}(s)-\mathcal{L}\{u(t-4)\}(s)+\mathcal{L}\{u(t-5)\}(s).
Usando \mathcal{L}\{u(t)\}=\dfrac{1}{s} e \mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s}-\frac{e^{-4s}}{s}+\frac{e^{-5s}}{s}.
Fatorando 1/s:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1 - e^{-4s} + e^{-5s}}{s}.
Domínio de convergência: esta expressão é válida para \Re(s)>0 (como nas transformadas de funções limitadas por constantes).

Resposta

f(t)=u(t)-u(t-4)+u(t-5)\n
\displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1 - e^{-4s} + e^{-5s}}{s}

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