Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace inversa da função
Informações dadas:
- A função no domínio de
é
- Devemos encontrar
- Observa-se a presença do fator exponencial multiplicando em
:
.
Passo 2
Vamos lembrar conceitos úteis (explicados de modo prático):
- A transformada de Laplace direta de uma função
é
- As transformadas inversas básicas que usaremos são:
onde
é uma constante positiva. Aqui
é a variável do domínio de Laplace e
é a variável de tempo (a função que queremos obter).
- Também existe a propriedade de deslocamento no tempo (teorema do deslocamento): para
,
onde
e
é a função degrau unitário (Heaviside). Em palavras: multiplicar por
em
corresponde a atrasar a função em
e multiplicar por
.
Passo 3
Primeiro fazemos a parte sem o deslocamento: identifiquemos
Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes (ou substituindo valores de
) temos:
Da segunda equação
. Assim
.
Passo 4
Substituindo os coeficientes:
Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando as transformadas básicas citadas):
Denotemos essa função por
. Essa é a resposta para a parte sem o fator
.
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo (teorema do deslocamento). O nosso problema tem
, isto é
. Pelo teorema:
onde
. Aqui
e
, e
. Então
Substituindo
:
Isto significa, de forma equivalente em forma por partes: