Determine a transformada de Laplace e a região de convergência associada e o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes funções do tempo:
(g) x(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace
X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}
de
x(t)= \begin{cases} 1,&0\le t\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
além da região de convergência (ROC) e do diagrama de polos e zeros.
Conteúdo: definição de transformada de Laplace e análise de zeros e polos.

Passo 2

Usamos a definição
X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)\,e^{-st}\,dt.
Como x(t)=1 em [0,1] e zero fora, a integral vira
X(s)=\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt.
Fazendo a primitiva,
\int e^{-st}dt=-\frac{1}{s}e^{-st},
logo
X(s)=\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{s}\bigl(1-e^{-s}\bigr).

Passo 3

Portanto
X(s)=\frac{1-e^{-s}}{s}.

Passo 4

Para convergência precisamos de
\displaystyle\int_{0}^{1}|e^{-\sigma t}|dt<\infty,
isto é, \sigma=\Re(s)>0.
Logo a região de convergência é
\Re(s)>0.

Passo 5

Analisando zeros e polos de
\displaystyle X(s)=\frac{1-e^{-s}}{s}:
  1. Zeros: solução de 1-e^{-s}=0\implies e^{-s}=1\implies s=j2\pi k, k\in\mathbb{Z}.
  2. Polo em s=0 devido ao denominador s. Como também 1-e^{-s} anula em s=0, há cancelamento simples em s=0.
Diagrama no plano s:
  • Zeros em s=j2\pi k, k\in\mathbb{Z}.
  • Polo simples em s=0 (cancelado por zero de mesmo ponto).

Resposta

\displaystyle X(s)=\frac{1-e^{-s}}{s},\quad \text{ROC: }\Re(s)>0.
Diagrama de polos e zeros: zeros em s=j2\pi k ( k\in\mathbb{Z}) e polo cancelado em s=0.

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