Determine a transformada de Laplace e o seu respectivo domínio para as seguintes funções, sabendo-se que
para todo
e
.
.
Passo 1
Resumo do enunciado e do que vamos usar
A gente precisa achar a transformada de Laplace
A gente precisa achar a transformada de Laplace
e o domínio de convergência (ou seja, para quais valores de
Conteúdo: definição de Laplace, propriedade da linearidade, transformadas de
Passo 2
Definição da transformada de Laplace
Por definição
Por definição
Para existir, essa integral tem que convergir, o que impõe condições na parte real de
Passo 3
Transformada de
Usando a integral
Usando a integral
Como
Passo 4
Transformada de
Começamos pela integral
Começamos pela integral
Há uma fórmula padrão
$$\int_0^\infty e^{-\alpha t}\cos(\beta t),dt
=\frac{\alpha}{\alpha2+\beta2},\quad \Re(\alpha)>0.
\mathcal L{e^{-t}\cos(t)}
=\frac{s+1}{(s+1)^2+1},\quadpara\Re(s+1)>0;\Longrightarrow;\Re(s)>-1.$$
Passo 5
Soma e domínio final
Pela linearidade
Pela linearidade
O domínio de convergência é a interseção