Determine a transformada de Laplace e o seu respectivo domínio para as seguintes funções, sabendo-se que f(t)=0 para todo t<0 e a in R.
f(t)=e^t+e^-t cos (t).

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos usar
A gente precisa achar a transformada de Laplace
F(s)= Lf(t), f(t)=e^t + e^-tcos(t),;t>=0
e o domínio de convergência (ou seja, para quais valores de s a integral converge).
Conteúdo: definição de Laplace, propriedade da linearidade, transformadas de e^at e de e^atcos(bt), e região de convergência.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace
Por definição
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Para existir, essa integral tem que convergir, o que impõe condições na parte real de s (denotada Re(s)).

Passo 3

Transformada de e^t
Usando a integral
Le^t=integral0^infty e^-st,e^t,dt = integral0^infty e^-(s-1)t,dt
Como integral0^infty e^-alpha tdt=1alpha se Re(alpha)>0, aqui alpha=s-1, dá
Le^t=1s-1,para Re(s-1)>0;Longrightarrow;Re(s)>1

Passo 4

Transformada de e^-tcos(t)
Começamos pela integral
Le^-tcos(t) =integral0^infty e^-st,e^-tcos(t),dt =integral0^infty e^-(s+1)tcos(t),dt
Há uma fórmula padrão
$$\int_0^\infty e^{-\alpha t}\cos(\beta t),dt
=\frac{\alpha}{\alpha2+\beta2},\quad \Re(\alpha)>0. integral0^infty e^-alpha tcos(beta t),dt =alphaalpha^2+beta^2, Re(alpha)>0ã\mathcal L{e^{-t}\cos(t)}
=\frac{s+1}{(s+1)^2+1},\quadpara\Re(s+1)>0;\Longrightarrow;\Re(s)>-1.$$

Passo 5

Soma e domínio final
Pela linearidade
Le^t+e^-tcos(t) = Le^t+ Le^-tcos(t) =1s-1 ;+;s+1(s+1)^2+1
O domínio de convergência é a interseção
Re(s)>1capRe(s)>-1 = Re(s)>1

Resposta

boxedF(s)=1s-1 ;+;s+1(s+1)^2+1, Re(s)>1

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