Determine a transformada de Laplace e o seu respectivo domínio para as seguintes funções, sabendo-se que f(t)=0 para todo t<0 e a in R.
f(t)=e^-t+e^t cos (t).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui.
Enunciado: “Determine a transformada de Laplace e o seu domínio para
f(t)=e^-t ;+; e^tcos t,, t>=0,,;f(t)=0;(t<0),,;ainBbb R,
Matéria envolvida: Transformada de Laplace.
Vamos precisar de:
1) Definição da transformada de Laplace
2) Propriedade da linearidade
3) Transformada de e^at
4) Transformada de cos(omega t)
5) Propriedade de descolamento no eixo s (para e^atg(t))

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace é
F(s)= Lf(t)(s)=integral0^inftye^-st,f(t),dt,
Como f(t)=e^-t+e^tcos t, separamos em duas integrais (pela linearidade):
F(s)=underbraceintegral0^inftye^-ste^-tdtI1;+;underbraceintegral0^inftye^-ste^tcos t,dtI2,

Passo 3

Calcular I1=integral0^inftye^-(s+1)tdt.
Isso é um integral exponencial padrão:
integral0^inftye^-ptdt=1pse Re(p)>0
Aqui p=s+1, então
I1=1s+1, Re(s+1)>0;Longrightarrow;Re(s)>-1,

Passo 4

Calcular $I_2=\displaystyle\int_{0}{\infty}e{-st}e^{t}\cos t,dt
=\int_{0}{\infty}e{-(s-1)t}\cos t,dt,. $
A fórmula padrão é
I2=integral0^inftye^-ste^tcos t,dt =integral0^inftye^-(s-1)tcos t,dt,
Aqui integral0^inftye^-ptcos(omega t),dt=pp^2+omega^2,Re(p)>0, e p=s-1, logo
omega=1

Passo 5

Agora juntamos os dois resultados:
$$F(s)=I_1+I_2
=\frac{1}{s+1};+;\frac{s-1}{(s-1)^2+1},. F(s)=I1+I2 =1s+1;+;s-1(s-1)^2+1, íéçãçõ\Re(s)>1,. $$

Resposta

boxedF(s)=1s+1+s-1(s-1)^2+1, domínio: Re(s)>1,í

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