Determine a transformada de Laplace e o seu respectivo domínio para as seguintes funções, sabendo-se que para todo e . .
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui.
Enunciado: “Determine a transformada de Laplace e o seu domínio para
Matéria envolvida: Transformada de Laplace.
Vamos precisar de:
1) Definição da transformada de Laplace
2) Propriedade da linearidade
3) Transformada de
4) Transformada de
5) Propriedade de descolamento no eixo (para )
Passo 2
Pela definição, a transformada de Laplace é
Como , separamos em duas integrais (pela linearidade):
Passo 3
Calcular I1=integral0^inftye^-(s+1)tdt.
Isso é um integral exponencial padrão:
integral0^inftye^-ptdt=1pse Re(p)>0
Aqui p=s+1, então I1=1s+1, Re(s+1)>0;Longrightarrow;Re(s)>-1,
Passo 4
Calcular $I_2=\displaystyle\int_{0}{\infty}e{-st}e^{t}\cos t,dt
=\int_{0}{\infty}e{-(s-1)t}\cos t,dt,. $
A fórmula padrão é
I2=integral0^inftye^-ste^tcos t,dt =integral0^inftye^-(s-1)tcos t,dt,
Aqui integral0^inftye^-ptcos(omega t),dt=pp^2+omega^2,Re(p)>0, e p=s-1, logo omega=1