Obtenha a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.
f(s)=10(s+1)(s+2)(s+3).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar a transformada de Laplace inversa de
f(s) ;=;10(s+1)(s+2)(s+3)
Isso cai na matéria de transformadas de Laplace e, em particular, na técnica de decomposição em frações parciais. A gente vai precisar:
  1. Entender que a inversa de é .
  2. Fazer a decomposição em frações parciais para reescrever como soma de termos do tipo .

Passo 2

Primeiro, escrevemos
10(s+1)(s+2)(s+3) ;=; As+1 ;+;Bs+2;+;Cs+3
Aqui a ideia é achar os constantes , e .

Passo 3

Multiplicamos todo mundo por 10 ;=; A,(s+2)(s+3);+;B,(s+1)(s+3);+;C,(s+1)(s+2) , ficando
10 ;=; A,(1)(2)Longrightarrow A = 102 = 5
Agora a gente pode escolher valores de 10 ;=; B,(-1)(1)Longrightarrow B = 10-1 = -10 que zere cada fator e isolar 10 ;=; C,(-2)(-1)Longrightarrow C = 102 = 5 , e .
– Se :
– Se :
– Se :

Passo 4

Substituindo de volta, a fração parcial fica
10(s+1)(s+2)(s+3) ;=; 5s+1 ;-;10s+2;+;5s+3
Agora é tranquilo usar a tabela de transformada inversa:
L^-1!l1s+ar = e^-a t

Passo 5

Aplicando termo a termo:
f(t) =;5,e^-1cdot t ;-;10,e^-2cdot t ;+;5,e^-3cdot t, t>=0

Resposta

boxedf(t)=5e^-t-10e^-2t+5e^-3t

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