Determine a transformada de Laplace e o seu respectivo domínio para as seguintes funções, sabendo-se que f(t)=0 para todo t<0 e a in R.
f(t)=t^2 e^a t.

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente achar a transformada de Laplace de
f(t) = t^2 e^a t,
sabendo que Lf(t)(s) ;=; integral0^infty e^-s t,f(t),dt, para . Isso é conteúdo de Transformada de Laplace, que envolve a definição
e também exige calcular uma integral imprópria do tipo . Pra isso a gente vai usar integração por partes e lembrar a condição de convergência (domínio) no final.

Passo 2

Primeiro, escreve a definição da transformada de Laplace aplicada a Lt^2 e^a t(s) =integral0^infty e^-s t,l(t^2 e^a tr),dt =integral0^infty t^2,e^-(s-a),t,dt :
Aqui a gente só reuniu os expoentes: .

Passo 3

Agora define
I = integral0^infty t^2 e^-b t,dt,
onde a gente vai usar . Lembra que pra esse integral convergir a parte real de precisa ser >0, ou seja . Depois a gente troca o .

Passo 4

Vamos calcular I = l(-tfract^2be^-b t)r|0^infty + integral0^inftytfrac1b,2t,e^-b t,dt por partes duas vezes.
  1. Faça
    I = 2bintegral0^infty t,e^-b t,dt , J = l-tbe^-b tr|0^infty + integral0^infty1b,e^-b t,dt = 0 + 1bl[-1be^-b tr]0^infty = 1b^2 .
    Então
    I = 2b,J = 2b,1b^2 = 2b^3 e .
    O termo de fronteira some (para ), sobrando
  2. Agora calcule por partes de novo:
    Escolha , , daí
    , .
    Logo
  3. Substituindo em :

Resposta

boxedLt^2 e^a t(s) = 2(s - a)^3, válido para Re(s) > a á

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