Determine a transformada de Laplace e o seu respectivo domínio para as seguintes funções, sabendo-se que
para todo
e
.
.
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente achar a transformada de Laplace de
sabendo que
para
. Isso é conteúdo de Transformada de Laplace, que envolve a definição
e também exige calcular uma integral imprópria do tipo
. Pra isso a gente vai usar integração por partes e lembrar a condição de convergência (domínio) no final.
Passo 2
Primeiro, escreve a definição da transformada de Laplace aplicada a
:
Aqui a gente só reuniu os expoentes:
.
Passo 3
Agora define
onde a gente vai usar
. Lembra que pra esse integral convergir a parte real de
precisa ser >0, ou seja
. Depois a gente troca o
.
Passo 4
Vamos calcular
por partes duas vezes.
- Faça
, .
Então
e .
AíO termo de fronteira some (para ), sobrando - Agora calcule
por partes de novo:
Escolha , , daí
, .
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