Desenhe passo a passo o diagrama de bode para as seguintes funções de transferência:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar passo a passo o diagrama de Bode para a função de transferência $ H(s) = \frac{s+10}{s^{2}+3s+50} $, onde $ s = j\omega $. Isso envolve a análise de como a magnitude e a fase dessa função se comportam em função da frequência $ \omega $. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de polos, zeros, magnitude e fase em diagramas de Bode.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os zeros e polos da função de transferência. O zero é o valor de $ s $ que anula o numerador, e os polos são os valores de $ s $ que anulam o denominador.
Para $ H(s) = \frac{s+10}{s^{2}+3s+50} $:
- Zero: $ s + 10 = 0 $ → $ s = -10 $
- Polos: $ s^{2} + 3s + 50 = 0 $ → resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um zero em $ s = -10 $ e dois polos complexos conjugados.
Passo 3
Agora, vamos determinar as frequências de canto (corner frequencies) para o zero e os polos. A frequência de canto é onde a magnitude começa a mudar de inclinação.
- Zero: $ \omega_z = 10 $ rad/s
- Polos: A parte imaginária dos polos é $ \sqrt{191}/2 \approx 6.94 $ rad/s
Então, temos:
- Zero em $ \omega = 10 $ rad/s
- Polos em $ \omega \approx 6.94 $ rad/s
Passo 4
Vamos agora analisar a contribuição de cada componente (ganho, zero e polos) para o diagrama de magnitude e fase.
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Zero em $ \omega_z = 10 $ rad/s:
- A magnitude aumenta 20 dB/decade após $ \omega_z $.
- A fase contribui com +45° em torno de $ \omega_z $.
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Polos em $ \omega_p \approx 6.94 $ rad/s:
- Cada polo causa uma diminuição de 20 dB/decade a partir de sua frequência de canto.
- Cada polo contribui com -45° na fase em torno de $ \omega_p $.
Como temos dois polos, a inclinação total a partir de $ \omega_p $ será de -40 dB/decade, e a fase total será de -90° devido aos dois polos.
Passo 5
Vamos iniciar a construção do diagrama de Bode de magnitude:
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Ganhos Iniciais:
- Começamos com o ganho em baixa frequência. O termo constante $ s+10 $ atua como um zero na frequência baixa, aproximando-se de 10.
- O denominador $ s^{2}+3s+50 $ para $ s << \omega_p $ é aproximadamente 50, então a magnitude inicial é $ \frac{10}{50} = 0.2 $ ou -14 dB.
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Impacto do Polo:
- A partir de $ \omega \approx 6.94 $ rad/s, cada polo reduz a inclinação em 20 dB/decade. Com dois polos, a inclinação será -40 dB/decade.
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Impacto do Zero:
- A partir de $ \omega = 10 $ rad/s, o zero começa a aumentar a inclinação em 20 dB/decade.
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Inclinação Final:
- A inclinação final será de -40 dB/decade + 20 dB/decade (do zero) = -20 dB/decade.
Passo 6
Agora, vamos construir o diagrama de fase:
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Fase Inicial:
- Em baixa frequência, a fase inicial é dominada pelo ganho constante, que não contribui para a fase.
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Contribuição dos Polos:
- Cada polo começa a diminuir a fase a partir de $ \omega_p \approx 6.94 $ rad/s. Cada polo contribui com -45°, totalizando -90°.
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Contribuição do Zero:
- O zero começa a aumentar a fase a partir de $ \omega_z = 10 $ rad/s, contribuindo com +45°.
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Fase Final:
- A fase total será de -90° + 45° = -45°.
Resposta
O diagrama de Bode para $ H(s) = \frac{s+10}{s^{2}+3s+50} $ apresenta:
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Magnitude:
- Inicia em -14 dB.
- Reduz em -40 dB/decade a partir de $ \omega \approx 6.94 $ rad/s devido aos polos.
- Aumenta em +20 dB/decade a partir de $ \omega = 10 $ rad/s devido ao zero.
- Inclinação final de -20 dB/decade.
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Fase:
- Começa em 0°.
- Diminui para -90° a partir de $ \omega \approx 6.94 $ rad/s devido aos polos.
- Aumenta para -45° a partir de $ \omega = 10 $ rad/s devido ao zero.