Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é (presumimos
, que é o domínio usual para a transformada de Laplace).
Informações dadas: a função é
Passo 2
Definição útil (a fórmula que usamos): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável (complexa) da transformada. Vamos aplicar essa integral ao
dado. Não se assuste com o
: na prática para exercícios típicos tratamos
como uma variável simbólica e depois vemos a condição de convergência.
Passo 3
Simplificação inicial da função, usando propriedades de exponencial: como
, temos
Isto é só álgebra de expoentes:
. Assim a função é uma constante
multiplicando
.
Passo 4
Aplicando a definição e a propriedade de linearidade da integral (constantes saem da integral):
Aqui usei que
.
Passo 5
Agora calculamos a integral
Para isso lembro a primitiva: para
,
Aplicando de
até
com
, obtemos
Para que o termo exponencial no limite vá a zero é necessário que a parte real de
seja positiva, ou seja
(equivalente a
). Nesse caso o limite do primeiro termo é
e a integral vale
valendo para
.
Passo 6
Voltando ao passo anterior e multiplicando pela constante
, obtemos
com região de convergência
.
Passo 7
Uma maneira rápida que você pode usar na prova: lembrar a fórmula padrão
No nosso caso
. Aplicando a fórmula com
e puxando
para fora, dá o mesmo resultado
.
Passo 8
Exemplo rápido para fixar (prática): se tivéssemos
, pela mesma ideia
Isso ajuda a treinar o padrão: constante vezes exponencial → constante fora, decrementar
com o expoente.