Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
\mathscr{L}\left\{e^{-t+7}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função \,e^{-t+7}\,.
Informações dadas: a função é \,f(t)=e^{-t+7}\, (presumimos t\ge 0, que é o domínio usual para a transformada de Laplace).

Passo 2

Definição útil (a fórmula que usamos): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt,
onde s é a variável (complexa) da transformada. Vamos aplicar essa integral ao f(t) dado. Não se assuste com o s: na prática para exercícios típicos tratamos s como uma variável simbólica e depois vemos a condição de convergência.

Passo 3

Simplificação inicial da função, usando propriedades de exponencial: como -t+7 = 7 + (-t), temos
e^{-t+7}=e^{7}\,e^{-t}.
Isto é só álgebra de expoentes: e^{a+b}=e^{a}e^{b}. Assim a função é uma constante e^{7} multiplicando e^{-t}.

Passo 4

Aplicando a definição e a propriedade de linearidade da integral (constantes saem da integral):
\mathscr{L}\{e^{-t+7}\} =\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,e^{-t+7}\,dt =e^{7}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,e^{-t}\,dt =e^{7}\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt.
Aqui usei que e^{-st}e^{-t}=e^{-(s+1)t}.

Passo 5

Agora calculamos a integral
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt.
Para isso lembro a primitiva: para a\neq0,
\int e^{-a t}\,dt = -\frac{1}{a}e^{-a t}.
Aplicando de 0 até \infty com a=s+1, obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt =\lim_{T\to\infty}\left[-\frac{1}{s+1}e^{-(s+1)t}\right]_{0}^{T} =\lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{s+1}e^{-(s+1)T}+\frac{1}{s+1}\right).
Para que o termo exponencial no limite vá a zero é necessário que a parte real de s+1 seja positiva, ou seja \operatorname{Re}(s+1)>0 (equivalente a \operatorname{Re}(s)>-1). Nesse caso o limite do primeiro termo é 0 e a integral vale
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t}\,dt = \frac{1}{s+1},
valendo para \operatorname{Re}(s)>-1.

Passo 6

Voltando ao passo anterior e multiplicando pela constante e^{7}, obtemos
\mathscr{L}\{e^{-t+7}\}=e^{7}\cdot\frac{1}{s+1}=\frac{e^{7}}{s+1},
com região de convergência \operatorname{Re}(s)>-1.

Passo 7

Uma maneira rápida que você pode usar na prova: lembrar a fórmula padrão
\mathscr{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad(\operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}(a)).
No nosso caso e^{-t+7}=e^{7}\,e^{-t}=e^{7}\,e^{(-1)t}. Aplicando a fórmula com a=-1 e puxando e^{7} para fora, dá o mesmo resultado \dfrac{e^{7}}{s+1}.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar (prática): se tivéssemos g(t)=e^{3}e^{-2t}, pela mesma ideia
\mathscr{L}\{g(t)\}=\frac{e^{3}}{s+2}\quad(\operatorname{Re}(s)>-2).
Isso ajuda a treinar o padrão: constante vezes exponencial → constante fora, decrementar s com o expoente.

Resposta

\dfrac{e^{7}}{s+1}

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