Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
Informações dadas:
Pergunta: calcular
, isto é, encontrar
.
Passo 2
Usamos a linearidade da transformada de Laplace: a transformada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das transformadas. Assim
Passo 3
Desenvolvemos o quadrado para trabalhar com potências de
:
Portanto
Passo 4
Agora calculamos as transformadas básicas. Primeiro
. Por definição
esta integral converge para
e vale
Logo
.
Passo 5
Calculemos
. Por definição
Fazendo integração por partes com
(logo
) e
(logo
), obtemos
O primeiro termo é zero para
e o segundo é
. Logo
Passo 6
Calculemos
. Pela definição
Fazemos integração por partes: tome
(então
) e
(então
). Assim
O primeiro termo é zero para
. Já
(obtido no Passo 5), portanto
Logo
.
Passo 7
Substituindo os resultados no Passo 3:
Passo 8
Falta
. Uma forma rápida de obter é usar a transformada de
ou calcular diretamente:
Sabemos (ou podemos ver escrevendo
) que para
Portanto
.
Passo 9
Finalmente juntamos tudo usando a linearidade (Passo 2):
válido para
.