Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:
\mathscr{L}\left\{(t+11)^{2}-\cos (t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=(t+11)^{2}-\cos(t).
Informações dadas:
\text{função }f(t)=(t+11)^{2}-\cos(t),\quad t\ge 0.çã
Pergunta: calcular \mathscr{L}\{f(t)\}, isto é, encontrar \mathscr{L}\{(t+11)^{2}-\cos(t)\}.

Passo 2

Usamos a linearidade da transformada de Laplace: a transformada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das transformadas. Assim
\mathscr{L}\{(t+11)^{2}-\cos(t)\}=\mathscr{L}\{(t+11)^{2}\}-\mathscr{L}\{\cos(t)\}.

Passo 3

Desenvolvemos o quadrado para trabalhar com potências de t:
(t+11)^{2}=t^{2}+2\cdot11\cdot t+11^{2}=t^{2}+22t+121.
Portanto
\mathscr{L}\{(t+11)^{2}\}=\mathscr{L}\{t^{2}\}+22\,\mathscr{L}\{t\}+121\,\mathscr{L}\{1\}.

Passo 4

Agora calculamos as transformadas básicas. Primeiro \mathscr{L}\{1\}. Por definição
\mathscr{L}\{1\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt,
esta integral converge para \operatorname{Re}(s)>0 e vale
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}.
Logo \mathscr{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}.

Passo 5

Calculemos \mathscr{L}\{t\}. Por definição
\mathscr{L}\{t\}=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t (logo du=dt) e dv=e^{-st}dt (logo v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}), obtemos
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt=\left[-\frac{t}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
O primeiro termo é zero para \operatorname{Re}(s)>0 e o segundo é \dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{s^{2}}. Logo
\mathscr{L}\{t\}=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 6

Calculemos \mathscr{L}\{t^{2}\}. Pela definição
\mathscr{L}\{t^{2}\}=\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-st}\,dt.
Fazemos integração por partes: tome u=t^{2} (então du=2t\,dt) e dv=e^{-st}dt (então v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}). Assim
\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-st}\,dt=\left[-\frac{t^{2}}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt.
O primeiro termo é zero para \operatorname{Re}(s)>0. Já \int_{0}^{\infty} t\,e^{-st}\,dt=\dfrac{1}{s^{2}} (obtido no Passo 5), portanto
\int_{0}^{\infty} t^{2}e^{-st}\,dt=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Logo \mathscr{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}.

Passo 7

Substituindo os resultados no Passo 3:
\mathscr{L}\{(t+11)^{2}\}=\frac{2}{s^{3}}+22\cdot\frac{1}{s^{2}}+121\cdot\frac{1}{s}=\frac{2}{s^{3}}+\frac{22}{s^{2}}+\frac{121}{s}.

Passo 8

Falta \mathscr{L}\{\cos(t)\}. Uma forma rápida de obter é usar a transformada de e^{i t} ou calcular diretamente:
\mathscr{L}\{\cos(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(t)\,dt.
Sabemos (ou podemos ver escrevendo \cos t=\operatorname{Re}(e^{it})) que para \operatorname{Re}(s)>0
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(t)\,dt=\frac{s}{s^{2}+1}.
Portanto \mathscr{L}\{\cos(t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+1}.

Passo 9

Finalmente juntamos tudo usando a linearidade (Passo 2):
\mathscr{L}\{(t+11)^{2}-\cos(t)\}=\left(\frac{2}{s^{3}}+\frac{22}{s^{2}}+\frac{121}{s}\right)-\frac{s}{s^{2}+1},
válido para \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\frac{2}{s^{3}}+\frac{22}{s^{2}}+\frac{121}{s}-\frac{s}{s^{2}+1}

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