Use o MATLAB ou equivale para representar graficamente a amplitude e a fase das funções de transferências:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para representar graficamente a amplitude e a fase da função de transferência $ H(s) = 30 \frac{s+10}{s^{2}+3 s+50} $, onde $ s = j \omega $. Esse exercício faz parte da matéria de Sistemas Dinâmicos e Controle, mais especificamente sobre análise de funções de transferência no domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a amplitude e a fase de uma função de transferência e utilizar o MATLAB ou uma ferramenta similar para plotar esses gráficos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ s $ por $ j \omega $ na função de transferência. Isso nos dá:
Lembre-se que $ j $ é a unidade imaginária onde $ j^{2} = -1 $.
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador:
Então, o denominador fica:
Portanto, a função de transferência se torna:
Passo 4
Para encontrar a amplitude $ |H(j\omega)| $, calculamos o módulo do numerador e do denominador:
Isso nos dá a magnitude da resposta em frequência.
Passo 5
Para encontrar a fase $ \angle H(j\omega) $, calculamos o ângulo do numerador menos o ângulo do denominador:
Esse cálculo nos dá a diferença de fase entre a entrada e a saída do sistema.
Passo 6
Agora, vamos usar o MATLAB para plotar a amplitude e a fase. Aqui está um exemplo de como você pode fazer isso:
% Definir o intervalo de frequência
omega = logspace(0, 3, 500); % de 1 a 1000 rad/s
% Calcular H(jω)
H = 30*(1j*omega + 10)./( -omega.^2 + 3*1j*omega + 50);
% Calcular amplitude e fase
amplitude = abs(H);
fase = angle(H) * (180/pi); % converter para graus
% Plotar amplitude
figure;
semilogx(omega, 20*log10(amplitude));
grid on;
xlabel('Frequência ω (rad/s)');
ylabel('Amplitude (dB)');
title('Diagrama de Amplitude de H(j\omega)');
% Plotar fase
figure;
semilogx(omega, fase);
grid on;
xlabel('Frequência ω (rad/s)');
ylabel('Fase (graus)');
title('Diagrama de Fase de H(j\omega)');
Esse código define um intervalo de frequências, calcula a função de transferência para cada $ \omega $, determina a amplitude e a fase, e então plota esses valores em gráficos separados usando escalas logarítmicas para a frequência.
Resposta
Seguindo os passos acima, conseguimos representar graficamente a amplitude em decibéis e a fase em graus da função de transferência $ H(s) = 30 \frac{s+10}{s^{2}+3 s+50} $ utilizando o MATLAB. Os gráficos resultantes mostrarão como a amplitude e a fase variam com a frequência $ \omega $, proporcionando uma análise completa do comportamento do sistema no domínio da frequência.