Determine a transformada z dos sinais dados abaixo:
x(t)=2^-0,1 t, T=0,04 s

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente achar a Transformada Z de um sinal contínuo que foi amostrado. O sinal original é
x(t) = 2^-0,1,t
e foi amostrado a cada X(z) = sumn=0^infty x[n],z^-n s.
Isso cai dentro do tópico “Transformada Z de sinais amostrados”, e o que a gente vai precisar é:
  1. Converter o sinal contínuo em sequência discreta usando .
  2. Lembrar a definição da Transformada Z:
  1. Saber que essa soma é uma série geométrica e usar a fórmula dela.

Passo 2

Primeiro, vamos amostrar o sinal:
x[n] = x(nT) = 2^-0,1,(nT)
Como x[n] = 2^-0,1,(0,04,n) = 2^-0,004,n , isso vira
x[n] = l(2^-0,004r)^n
Ou seja, a cada passo você tem

Passo 3

Agora aplicamos a definição da Transformada Z:
X(z) = sumn=0^infty x[n],z^-n = sumn=0^infty l(2^-0,004r)^n,z^-n = sumn=0^infty l(2^-0,004,z^-1r)^n
Isso é uma série geométrica com “razão” sumn=0^infty a^n = 11 - a, se |a|<1, .
Lembrando da fórmula para série geométrica:
X(z) = 11 - l(2^-0,004z^-1r),
temos aqui
válido quando , ou seja .

Passo 4

Se você preferir escrever de um jeitinho comum na literatura, multiplica numerador e denominador por X(z) = zz - 2^-0,004 :

Resposta

boxedX(z) = 11 - 2^-0,004,z^-1 com ROC: |z|>2^-0,004,
ou equivalentemente
boxedX(z) = z,z - 2^-0,004,,

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