Resolva a equação diferenças dada abaixo;
l y[n+2]-56 y[n+1]+16 y[n]=5 x[n+1]-x[n] y[-1]=2, y[-2]=0, x[n]=u[n]

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: a gente tem uma equação a diferenças
y[n+2]-tfrac56,y[n+1]+tfrac16,y[n]=5,x[n+1]-x[n]
com condições iniciais
y[-1]=2, y[-2]=0,
e o sinal de entrada é x[n]=u[n] (a função degrau).
Isso é matéria de equações a diferenças lineares de coeficientes constantes.
Pra resolver, a gente vai precisar:
  1. entender como achar a solução homogênea (resolvendo a equação característica);
  2. achar uma solução particular pro termo de entrada;
  3. somar as duas e usar as condições iniciais pra fixar as constantes.

Passo 2

Primeiro a parte homogênea, que vem da equação
yh[n+2]-tfrac56,yh[n+1]+tfrac16,yh[n]=0
A gente assume yh[n]=r^n e monta a característica:
r^2-tfrac56r+tfrac16=0
Multiplicando por 6 fica
6r^2-5r+1=0
As raízes são
r=5pmraiz25-2412=5pm112,
isto é
r1=tfrac12, r2=tfrac13
Logo
yh[n]=A,(1/2)^n + B,(1/3)^n

Passo 3

Agora a solução particular. O lado direito é
5,x[n+1]-x[n]=5,u[n+1]-u[n]
Para n>=0, u[n]=1, então isso vale 5cdot1-1=4. Então o “forçamento” é uma constante 4.
A gente supõe yp[n]=C (constante). Substituindo na equação:
C-tfrac56C+tfrac16C =l(1-tfrac56+tfrac16r)C =tfrac13,C stackrel!=4
Logo
C=12
Como essa parte vale só quando n>=0, a gente vai “colar” isso com o degrau:
yp[n]=12,u[n]

Passo 4

A solução geral é
y[n]=yh[n]+yp[n] =A,(1/2)^n + B,(1/3)^n + 12,u[n]
Para achar A e B, usamos as condições iniciais em n=-2,-1. Como u[-1]=u[-2]=0, nessas posições só sobra a parte homogênea:
Para n=-2:
A,(1/2)^-2+B,(1/3)^-2=y[-2]=0 ;Rightarrow; 4A+9B=0
Para n=-1:
A,(1/2)^-1+B,(1/3)^-1=y[-1]=2 ;Rightarrow; 2A+3B=2

Passo 5

Resolvendo o sistema
4A+9B=0, 2A+3B=2,
da segunda equação 2A=2-3Bimplies A=1-tfrac32B.
Substituindo na primeira:
4l(1-tfrac32Br)+9B=0 ;Rightarrow; 4-6B+9B=0 ;Rightarrow; 3B=-4 ;Rightarrow; B=-tfrac43
Então
A=1-tfrac32l(-tfrac43r) =1+2 =3

Resposta

boxedy[n]=3l(tfrac12r)^n ;-;tfrac43l(tfrac13r)^n;+;12,u[n]

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