Resolva a equação diferenças dada abaixo;
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: a gente tem uma equação a diferenças
com condições iniciais
e o sinal de entrada é
(a função degrau).
Isso é matéria de equações a diferenças lineares de coeficientes constantes.
Pra resolver, a gente vai precisar:
Isso é matéria de equações a diferenças lineares de coeficientes constantes.
Pra resolver, a gente vai precisar:
- entender como achar a solução homogênea (resolvendo a equação característica);
- achar uma solução particular pro termo de entrada;
- somar as duas e usar as condições iniciais pra fixar as constantes.
Passo 2
Primeiro a parte homogênea, que vem da equação
A gente assume
e monta a característica:
Multiplicando por 6 fica
As raízes são
isto é
Logo
Passo 3
Agora a solução particular. O lado direito é
Para
,
, então isso vale
. Então o “forçamento” é uma constante 4.
A gente supõe (constante). Substituindo na equação:
A gente supõe
Logo
Como essa parte vale só quando
, a gente vai “colar” isso com o degrau:
Passo 4
A solução geral é
Para achar
e
, usamos as condições iniciais em
. Como
, nessas posições só sobra a parte homogênea:
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Resolvendo o sistema
da segunda equação
.
Substituindo na primeira:
Substituindo na primeira:
Então