Determine y[n] solução das equações:
b) y[n+2]-9 y[n]=36 n(-3)^n u[n], y[0]=3, y[1]=-6

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui uma equação de diferenças não-homogênea de segunda ordem:
y[n+2] - 9,y[n] ;=; 36,n,(-3)^n,u[n],
com condições iniciais e .
Conteúdo: equações de diferenças lineares com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
  1. achar a solução geral da parte homogênea;
  2. encontrar uma solução particular para o termo forçante ;
  3. usar as condições iniciais pra achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea é
yh[n+2] - 9,yh[n] = 0
A gente monta a equação característica:
r^2 - 9 = 0 ;Longrightarrow; r = pm3
Logo a solução homogênea é
yh[n] = Acdot3^n + Bcdot(-3)^n,
onde e são constantes a determinar.

Passo 3

Agora a parte particular. O lado direito é yp[n] = n,(a,n + b),(-3)^n.
Repare que yp[n+2] = (n+2)l(a(n+2)+br),(-3)^n+2 = 9,(n+2)(a n+2a+b),(-3)^n é raiz da característica (multiplicidade 1), então a gente multiplica por yp[n+2] - 9,yp[n] = (-3)^n l9[(n+2)(an+2a+b)] - 9[n(an+b)]r a forma que normalmente chutaria.
Chute:
9l[(n+2)(an+2a+b) - n(an+b)r] = 9l[4a,n + (4a+2b)r]
Vamos achar 9cdot4a,n + 9(4a+2b) = 36,n ;Longrightarrow; 36a,n + 9(4a+2b) = 36,n e yp[n] = nl(n - 2r),(-3)^n .
Calcule :
E é .
Então
Dentro das chaves fica
Isso deve igualar .
Então
Igualando coeficientes:
  • Para : .
  • Constante: .
Logo

Passo 4

A solução geral é
y[n] = yh[n] + yp[n] = A,3^n + B,(-3)^n + n(n-2)(-3)^n = A,3^n + l(B + n(n-2)r),(-3)^n
Agora aplicamos as condições iniciais:
Para y[0] = A + l(B + 0cdot(-2)r) = A + B = 3 :
y[1] = Acdot3 + l(B + 1cdot(1-2)r)(-3) = 3A + (B -1)(-3) = 3A -3B +3 = -6
Para A + B = 3, 3A -3B = -9 :
Isso dá o sistema
Daqui vem e .

Resposta

boxedy[n] = l(n^2 - 2n + 3r),(-3)^n, n>=0

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