Determine
solução das equações:
b)
b)
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui uma equação de diferenças não-homogênea de segunda ordem:
com condições iniciais
e
.
Conteúdo: equações de diferenças lineares com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: equações de diferenças lineares com coeficientes constantes.
O que vamos precisar:
- achar a solução geral da parte homogênea;
- encontrar uma solução particular para o termo forçante
; - usar as condições iniciais pra achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, a parte homogênea é
A gente monta a equação característica:
Logo a solução homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Agora a parte particular. O lado direito é
.
Repare que é raiz da característica (multiplicidade 1), então a gente multiplica por
a forma que normalmente chutaria.
Chute:
Repare que
Chute:
Vamos achar
e
.
Calcule
:
E
é
.
Então
Então
Dentro das chaves fica
Isso deve igualar
.
Então
Então
Igualando coeficientes:
- Para
: → . - Constante:
→ → .
Logo
Passo 4
A solução geral é
Agora aplicamos as condições iniciais:
Para
:
Para
:
Isso dá o sistema
Daqui vem
e
.