Determine a Transformada Z e a correspondente região de convergência para os sinais a seguir:
b) x[n]=2^-n u[n] * 3^-n u[n]

Passo 1

Beleza, o enunciado manda:
“x[n] = 2^(–n)·u[n] * 3^(–n)·u[n]”
A matéria é Transformada Z e região de convergência (ROC).
O que precisamos:
  1. Saber a Transformada Z de uma sequência causal aⁿu[n], que é
    , com ROC .
  2. Usar a propriedade “convolução no tempo → multiplicação no z” e achar a intersecção de ROCs.

Passo 2

Definimos as duas sequências:
x₁[n]=2^(–n)u[n] ⇒ aqui a₁=½
x₂[n]=3^(–n)u[n] ⇒ aqui a₂=⅓
Pela fórmula da Transformada Z:
X1(z)=sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n z^-n =z,z-tfrac12,, ROC: |z|>tfrac12
X2(z)=sumn=0^inftyl(tfrac13r)^n z^-n =z,z-tfrac13,, ROC: |z|>tfrac13

Passo 3

Como x[n]=x₁[n]*x₂[n], basta multiplicar as Z-transforms:
X(z)=X1(z),X2(z) =z,z-tfrac12,;cdot;z,z-tfrac13, =z^2l(z-tfrac12r)l(z-tfrac13r)
A ROC é a intersecção dos ROCs individuais:
ROC: |z|>maxl(tfrac12,tfrac13r) ;=;|z|>tfrac12

Resposta

boxedX(z)=z^2(z-tfrac12),(z-tfrac13), ROC: |z|>tfrac12

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