Determine a função de transferência do sistema
y(t)=integral-1^1(1-tau^2) x(t-tau) d tau

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a função de transferência de um sistema que faz
y(t)=integral-1^1(1-tau^2),x(t-tau),dtau,
Isso é LTI (linear e invariante no tempo), matéria de Transformada de Laplace e convolução.
O que vamos precisar:
1) Reconhecer que isso é uma convolução H(s)=integral-infty^inftyh(tau)e^-stau,dtau, .
2) Saber que a função de transferência é a Laplace de :
  1. Calcular essa integral, quebrando em pedaços e usando integração por partes.

Passo 2

Primeiro, identificamos o impulso resposta y(t)=integral-1^1(1-tau^2),x(t-tau),dtau. Como
h(tau)=1-tau^2,&|tau|<=1,0,&else
é do tipo , a gente vê que

Passo 3

Agora vamos achar
H(s)=integral-infty^inftyh(tau)e^-stau,dtau = integral-1^1(1-tau^2)e^-stau,dtau,
Pra simplificar, dividimos em:
H(s)=integral-1^1e^-staudtau ;-;integral-1^1tau^2e^-staudtau,

Passo 4

  1. A primeira integral é fácil:
integral-1^1e^-staudtau = [-tfrac1se^-stau]-1^1 = e^s-e^-ss
  1. A segunda, I2 = e^s(1s-2s^2+2s^3) ;-; e^-s(1s+2s^2+2s^3) , usa integração por partes duas vezes. O resultado final, após calcular e aplicar os limites e , dá

Passo 5

Substituindo na expressão de H(s) =e^s-e^-ss ;-;I2 =;e^s(2s^2-2s^3) +;e^-s(2s^2+2s^3) :
H(s) =2s^3[(s-1)e^s+(s+1)e^-s]
Fatorando fica mais bonito:

Resposta

A função de transferência é
boxedH(s)=2s^3[(s-1)e^s+(s+1)e^-s]

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