Determine a Transformada Z e a correspondente região de convergência para os sinais a seguir:
d) x[n]=3^n cos ^2(2 n) u[n]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a Transformada de Z
x[n] = 3^n cos^2(2n),u[n] e a região de convergência (ROC) do sinal
Isso é conteúdo de transformada de Z de sequências causais. A gente vai usar:
  1. a identidade trigonométrica ,
  2. representação de via exponenciais complexas,
  3. a soma de séries geométricas para calcular a Z-transformada.

Passo 2

Primeiro, usemos a identidade
cos^2(2n) = tfrac12 + tfrac12cos(4n)
Então
x[n] =3^nl(tfrac12 + tfrac12cos(4n)r)u[n] =underbracetfrac12,3^n,u[n]x1[n] +underbracetfrac12,3^ncos(4n),u[n]x2[n]

Passo 3

Agora vamos transformar cada parte.
Teoria básica: para Za^n u[n] =sumn=0^infty a^n z^-n =11 - a,z^-1, com ROC: |z|>|a| ,
X1(z) =tfrac12;11 - 3,z^-1, ROC: |z|>3
Logo, para
,

Passo 4

Agora x2[n] =tfrac12cdot3^ncdottfrac12l(e^j4n+e^-j4nr)u[n] =tfrac14l((3e^j4)^n+(3e^-j4)^nr)u[n] .
Lembrando Z(3e^pm j4)^n u[n] =11 - 3e^pm j4,z^-1, ROC: |z|>3 ,
X2(z) =tfrac14l(11 - 3e^j4z^-1 +11 - 3e^-j4z^-1r), ROC: |z|>3
Aplicando a regra da série geométrica a cada termo:
Então

Passo 5

A Transformada total é
X(z) =X1(z)+X2(z) =1/21 - 3z^-1 +1/41 - 3e^j4z^-1 +1/41 - 3e^-j4z^-1,
e como todas as partes exigem boxed|z|>3 , a ROC final é

Resposta

Z3^ncos^2(2n),u[n] =tfrac121-3z^-1 +tfrac141-3e^j4z^-1 +tfrac141-3e^-j4z^-1, ROC: |z|>3

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