Determine a Transformada
e a correspondente região de convergência para os sinais a seguir:
d)
d)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a Transformada de Z
e a região de convergência (ROC) do sinal
Isso é conteúdo de transformada de Z de sequências causais. A gente vai usar:
- a identidade trigonométrica
, - representação de
via exponenciais complexas, - a soma de séries geométricas para calcular a Z-transformada.
Passo 2
Primeiro, usemos a identidade
Então
Passo 3
Agora vamos transformar cada parte.
Teoria básica: para Za^n u[n] =sumn=0^infty a^n z^-n =11 - a,z^-1, com ROC: |z|>|a| ,
Teoria básica: para
Logo, para
,
Passo 4
Agora
x2[n] =tfrac12cdot3^ncdottfrac12l(e^j4n+e^-j4nr)u[n] =tfrac14l((3e^j4)^n+(3e^-j4)^nr)u[n] .
Lembrando Z(3e^pm j4)^n u[n] =11 - 3e^pm j4,z^-1, ROC: |z|>3 ,
Lembrando
Aplicando a regra da série geométrica a cada termo:
Então
Passo 5
A Transformada total é
e como todas as partes exigem
boxed|z|>3 , a ROC final é