Para as transformadas unilaterais de Laplace a seguir determine, quando possível, x(0^+) e x(infty) :
d) X(s)=2 s+3s^2+5 s+6

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem a transformada unilateral de Laplace
X(s)=2s+3s^2+5s+6
e o que a questão pede é descobrir dois valores da função de tempo : o valor inicial e o valor no infinito .
Conteúdo: teorema do valor inicial e teorema do valor final da transformada de Laplace.
O que vamos precisar:
1. Saber que
- Teorema do valor inicial: .
- Teorema do valor final: , desde que o sinal seja estável (todos os polos de tenham parte real negativa).
2. Fazer limites em .
3. Verificar os polos para garantir que podemos usar o valor final.

Passo 2

Aplicando o teorema do valor inicial:
x(0^+)=limstoinftys,X(s) =limstoinftyscdot2s+3s^2+5s+6
Para fazer esse limite, olha só: no numerador temos x(0^+) =limstoinfty2s^2+3ss^2+5s+6 =21 =2 e no denominador .
Quando , o termo de grau maior domina, então

Passo 3

Agora o valor final. Primeiro, vamos conferir os polos de s^2+5s+6=(s+2)(s+3), :
x(infty)=limsto0s,X(s) =limsto0scdot2s+3s^2+5s+6
então os polos são x(infty)=06=0 e . Ambos têm parte real negativa, ou seja, o sistema é estável e podemos usar o teorema do valor final:
Substituindo : o numerador vira e o denominador fica . Logo

Resposta

x(0⁺)=2
x(∞)=0

Exercícios relacionados