Determine o valor das integrais
b) integral0^+infty 1000 t e^-3 t cos (5 t) u(t) d t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral imprópria
integral0^+infty 1000,t,e^-3tcos(5t),u(t),dt
Isso é um exercício de integrais envolvendo exponencial e cosseno (muito parecido com transformada de Laplace).
O que vamos precisar:
  • A fórmula básica
  • E a ideia de derivar em relação ao parâmetro para gerar um fator na frente.

Passo 2

Primeiro, lembramos da integral sem o I(a,b) = integral0^infty e^-a tcos(b t),dt = aa^2+b^2, Re(a)>0 :
Isso pode ser obtido via partes ou tabelas de transformada de Laplace.

Passo 3

Para aparecer o partialpartial aI(a,b) = partialpartial aintegral0^infty e^-a tcos(b t),dt = integral0^infty partialpartial al(e^-a tr)cos(b t),dt = integral0^infty (-t),e^-a tcos(b t),dt dentro da integral, usamos a técnica de derivação em relação a integral0^infty t,e^-a tcos(b t),dt = -ddal(aa^2+b^2r) :
Ou seja,

Passo 4

Vamos derivar
aa^2+b^2 Longrightarrow ddal(aa^2+b^2r) = (1)(a^2+b^2)-a(2a)(a^2+b^2)^2 = b^2-a^2(a^2+b^2)^2
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integral0^infty t,e^-a tcos(b t),dt = -b^2-a^2(a^2+b^2)^2 = a^2-b^2(a^2+b^2)^2
Agora plugamos integral0^infty t,e^-3 tcos(5 t),dt = 3^2 - 5^2(3^2+5^2)^2 = 9 - 25(9+25)^2 = -1634^2 = -161156 = -4289 e :

Passo 5

Por fim, tem o fator 1000 cdot gl(-4289gr) = -4000289 na frente da integral original, então

Resposta

boxed-4000289

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