Para as transformadas unilaterais de Laplace a seguir determine, quando possível, x(0^+) e x(infty) :
c) X(s)=2 s+3s^2+5 s-6

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o valor inicial X(s) = 2s + 3s^2 + 5s - 6, e o valor final de um sinal cuja transformada unilateral de Laplace é
Conteúdo principal: teorema do valor inicial e teorema do valor final em Laplace unilateral. Vamos precisar saber como aplicar esses dois teoremas e também checar onde estão os polos de pra ver se eles atendem às condições de validade do teorema do valor final.

Passo 2

Vamos começar pelo valor inicial usando o Teorema do Valor Inicial, que diz:
x(0^+) ;=; lims to infty s,X(s),,
desde que esse limite exista. Aqui
s,X(s) = s;2s + 3s^2 + 5s - 6 = 2s^2 + 3ss^2 + 5s - 6,
Para calcular a limite quando 2 + tfrac3s1 + tfrac5s - tfrac6s^2 ;xrightarrow[stoinfty]; 2 + 01 + 0 - 0 = 2 , dividimos numerador e denominador por :
Logo, .

Passo 3

Agora o valor final, pelo Teorema do Valor Final:
x(infty) ;=; lims to 0 s,X(s),
mas isso só vale se todos os polos de s^2 + 5s - 6 = (s - 1)(s + 6), estiverem no semiplano esquerdo ( ). Então é preciso ver onde estão os polos de .
O denominador é
logo há um polo em (que fica no semiplano direito) e outro em . Como existe um polo em com parte real positiva, a condição de estabilidade (polos em ) não é atendida.
Isso significa que o sinal é instável e cresce exponencialmente, então o teorema do valor final não se aplica e não existe um valor finito para .

Resposta

x(0⁺) = 2
x(∞) = não existe (a resposta diverge)

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